離散付値体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
体 K 上の乗法付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} が離散付値であるとき、付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を離散付値体という。 離散付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に対する付値環、付値イデアルを O , p {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}},\ {\mathfrak {p}}} とおき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元を π とし、1 より大きい正数 q を | π | = q − 1 {\displaystyle |\pi |=q^{-1}} が満たされる様にとると p n = { x ∈ K | | x | < 1 q n − 1 } ( n = 1 , 2 , … ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}=\left\{x\in K\left|\ |x|<{\frac {1}{q^{n-1}}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=1,2,\ldots )} であり、便宜的に p 0 = O {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{0}={\mathcal {O}}} とおくと { p n | n = 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \{{\mathfrak {p}}^{n}|n=0,1,2,\ldots \}} は K の 0 に対する基本近傍系となる。また、乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} に対して U ( n ) = 1 + p n = { x ∈ K × | | 1 − x | < 1 q n − 1 } ( n = 0 , 1 , 2 , … ) {\displaystyle U^{(n)}=1+p^{n}=\left\{x\in K^{\times }\left|\ |1-x|<{\frac {1}{q^{n-1}}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=0,1,2,\ldots )} とおくと O × = U ( 0 ) ⫌ U ( 1 ) ⫌ U ( 2 ) ⫌ ⋯ {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=U^{(0)}\supsetneqq U^{(1)}\supsetneqq U^{(2)}\supsetneqq \cdots } が成立し、 { U ( n ) | n = 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \{U^{(n)}|n=0,1,2,\ldots \}} は K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} の 1 に対する基本近傍系となる。また、各 n に対して、 U ( n ) {\displaystyle U^{(n)}} は K の単数群 O × {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}^{\times }} の部分群となる。これを n 次主単数群といい、特に U ( 1 ) {\displaystyle U^{(1)}} を主単数群という。 上記の付値イデアルのベキおよび n 次主単数群に対して、以下のことが成立する。 各 n = 1 , 2 , … {\displaystyle \scriptstyle n=1,2,\ldots } に対して O × / U ( n ) ≃ ( O / p n ) × , U ( n ) / U ( n + 1 ) ≃ O / p {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\simeq ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {p}}^{n})^{\times },\ \ \ \ \ U^{(n)}/U^{(n+1)}\simeq {\mathcal {O}}/{\mathfrak {p}}} が成立する。
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