離散分布で、母数が連続的な場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:45 UTC 版)
「最尤推定」の記事における「離散分布で、母数が連続的な場合」の解説
こんどは上の例での箱に入っているコインの数は無限であると仮定する。それぞれがすべての可能な 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} の値をとるとする。するとすべての可能な 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} の値に対して次の尤度関数を最大化しなければならない： L ( p ) = f D ( observe 49 HEADS out of 80 ∣ p ) = ( 80 49 ) p 49 ( 1 − p ) 31 {\displaystyle {\begin{matrix}L(p)&=&f_{D}({\mbox{observe 49 HEADS out of 80}}\mid p)={\binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}} この関数を最大化するには p {\displaystyle p} に関して微分しその値を0にすればよい： 0 = d d p ( ( 80 49 ) p 49 ( 1 − p ) 31 ) ∝ 49 p 48 ( 1 − p ) 31 − 31 p 49 ( 1 − p ) 30 = p 48 ( 1 − p ) 30 [ 49 ( 1 − p ) − 31 p ] {\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {d}{dp}}\left({\binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}} これを解けば p = 0 {\displaystyle p=0} 、 p = 1 {\displaystyle p=1} 、 p = 49 / 80 {\displaystyle p=49/80} の3つの解が得られるが、そのうち尤度を最大化するのは明らかに p = 49 / 80 {\displaystyle p=49/80} である（ p = 0 {\displaystyle p=0} と p = 1 {\displaystyle p=1} では尤度は0になってしまう）。こうして p {\displaystyle p} に対する最尤推定量は p ^ = 49 / 80 {\displaystyle {\hat {p}}=49/80} と求められる。この結果で、ベルヌーイ試行の成功数49を t {\displaystyle t} と置き、全回数80を n {\displaystyle n} と置けば一般化できる。 n {\displaystyle n} 回のベルヌーイ試行で t {\displaystyle t} 回成功した場合に対する母数 p {\displaystyle p} の最尤推定量は p ^ = t n {\displaystyle {\hat {p}}={\frac {t}{n}}} となる。
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