離散付値
離散付値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 18:40 UTC 版)
体 K の加法付値 v の値群 v(K×) が、辞書式順序で Znと順序同型であるとき離散的であるといい、この様な加法付値を離散的加法付値または離散的一般付値という。特に、上記 n が 1 である離散的加法付値のことを離散付値という。さらに、値群が Z となる離散付値を正規離散付値または正規指数付値という。 例えば、先に挙げた加法付値の例の 2., 3., 4., 5., 6. は正規離散付値であり、n ≥ 2 に対して、例8. は離散付値ではない離散的加法付値である。例7. の様に離散付値にならない加法付値も存在する。 体 K の正規離散付値 v に対して、v(π) = 1 を満たす K の元 π を v の 素元という。すると、K× の元 α は、素元と K の単元を用いて、α = επn と一意的に表現される。但し、ε は K の単元であり、n は整数である。 離散付値 v に関して、以下のことが成り立つ。但し、付値イデアルを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} とする。 付値環はネーター環である。 任意の付値環のイデアル a ≠ 0 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\neq 0} に対して、ある非負整数 n が存在して、 a = m n {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}^{n}} と表される。つまり、付値環は単項イデアル環である。 特に、v が正規離散付値であるならば、0 ではないイデアルは、n ≥ 0 に対して {x ∈ K | v(x) ≥ n} のかたちに表される。 ⋂ n = 1 ∞ m n = ( 0 ) {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=(0)} が成立する。 任意の付値環の元 a と 0 でない K の元 b に対して、ある正整数 n が存在して、nv(a) ≥ v(b) が成立する。
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