付値環のイデアル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 09:11 UTC 版)
付値環のイデアルを値群によって記述することができる。 Γ を全順序アーベル群（英語版）とする。Γ の部分集合 Δ は次のとき線分 (segment) と呼ばれる。空でなく、任意の α ∈ Δ に対し、-α と α の間にある（端点も含む）任意の元もまた Δ の元である。Γ の部分群は segment であり真部分群であるときに孤立部分群（isolated subgroup）と呼ばれる。 D を付値 v と値群 Γ をもった付値環とする。D の任意の部分集合 A に対して、 Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} を v ( A − 0 ) {\displaystyle v(A-0)} と − v ( A − 0 ) {\displaystyle -v(A-0)} の和集合の Γ {\displaystyle \Gamma } における補集合とする。I が真のイデアルであれば、 Γ I {\displaystyle \Gamma _{I}} は Γ {\displaystyle \Gamma } の segment である。実際、写像 I ↦ Γ I {\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}} は D の真のイデアルの集合と Γ {\displaystyle \Gamma } の segment の集合の間の包含関係を逆にする全単射を定義する。この対応のもとで、D の 0 でない素イデアルは Γ の孤立部分群と全単射に対応する。 例：p-進整数環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} は値群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } をもつ付値環である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の零部分群は唯一の極大イデアル ( p ) ⊂ Z p {\displaystyle (p)\subset \mathbb {Z} _{p}} と対応し、群そのものは零イデアルと対応する。極大イデアルは Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の唯一の孤立部分群である。 孤立部分群の集合は包含で全順序付けられている。Γ の高さ（height）あるいはランク（rank） r(Γ) は Γ の孤立部分群の集合の濃度と定義される。0でない素イデアルは全順序付けられており Γ の孤立部分群と対応するので、Γ の高さは Γ に付随する付値環 D のクルル次元と等しい。 最も重要なのは高さ 1 の場合である。これは Γ が実数のなす加法群（あるいは正の実数のなす乗法群）の部分群であることと同値である。高さ 1 の付値をもった付値環は超距離素点を定義する対応する絶対値をもつ。これの特別なケースはさきに言及された離散付値環である。 有理階数（rational rank） rr(Γ) は値群のアーベル群としての階数として定義される。 d i m Q ( Γ ⊗ Z Q ) {\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbf {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} )}
※この「付値環のイデアル」の解説は、「付値環」の解説の一部です。
「付値環のイデアル」を含む「付値環」の記事については、「付値環」の概要を参照ください。
- 付値環のイデアルのページへのリンク
