離散並進対称性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 08:16 UTC 版)
「並進演算子 (量子力学)」の記事における「離散並進対称性」の解説
「ブロッホの定理」も参照 ハミルトニアンが並進不変である特別な場合がある。この並進対称性は、ポテンシャルが周期的であるときに見られる。 V ( r j ± a ) = V ( r j ) {\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})} 一般的に任意の x j {\displaystyle x_{j}} での並進 T ^ j ( x j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})} によってハミルトニアンは不変ではない。ここで T ^ j ( x j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})} は次の性質を持つ。 T ^ j ( x j ) | r j ⟩ = | r j + x j ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle } また、 T ^ j † ( x j ) r ^ j T ^ j ( x j ) = r ^ j + x j I ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(x_{j}){\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}} (ここで I ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}} は恒等演算子である。上述の証明を参照)。 しかし x j {\displaystyle x_{j}} がポテンシャルの周期 a と一致したときは、 T ^ j † ( a ) V ( r ^ j ) T ^ j ( a ) = V ( r ^ j + a I ^ ) = V ( r ^ j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(a)V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})} ハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の運動エネルギー部分は p ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}} についての関数で、任意の並進に対して不変であるため、全体のハミルトニアンは次式を満たす。 T ^ j † ( a ) H ^ T ^ j ( a ) = H ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(a){\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}} つまりハミルトニアンは並進演算子と交換する。すなわち同時対角化することができる。よってハミルトニアンはそのような（連続でない）並進について不変である
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