乗法付値の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/04 18:40 UTC 版)
体 K に対して | a | 0 = { 1 ( a ∈ K × ) 0 ( a = 0 ) {\displaystyle |a|_{0}={\begin{cases}1&(a\in K^{\times })\\0&(a=0)\end{cases}}} と定めれば、乗法付値となる。これを自明な付値という。つまり、任意の体 K に対して、乗法付値はひとつ以上存在する。 実数体または複素数体上の絶対値は乗法付値である。絶対値のことを他の乗法付値と区別するために |•|∞ と書かれることもある。 素数 p と 0 ではない有理数 a = p e b p f c ( e ≥ 0 , f ≥ 0 , ( b , c ) = 1 , ( b c , p ) = 1 ) {\displaystyle a={p^{e}b \over p^{f}c}\quad (e\geq 0,\ f\geq 0,\ (b,c)=1,\ (bc,\ p)=1)} に対して、|a|p = pf−e で与えられる |•|p: Q → R は、有理数体上の乗法付値となる。これを p-進付値という。これは上記の p-進加法付値を使って、|a|p = p− v( a) とあらわすことができる。 より一般に、上記の p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進加法付値 v に対して、|a| p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} = N p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} − v ( a ) で与えられる|•| p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} : K → R は、代数体 K 上の乗法付値となる。ここで N p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} のノルムである。これを p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進付値という。
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