乗法と除法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/11 13:00 UTC 版)
上と同じ定義で、関数の積と商の冪級数は以下のように得られる： f ( x ) g ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n ) = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ a i b j ( x − c ) i + j = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) ( x − c ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}} 数列 m n = ∑ i = 0 n a i b n − i {\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}} は数列 an と bn の畳み込みと呼ばれる。 除法については、 f ( x ) g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n = ∑ n = 0 ∞ d n ( x − c ) n {\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}} f ( x ) = ( ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n ) ( ∑ n = 0 ∞ d n ( x − c ) n ) {\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)} として、上を用い、係数を比較する。
※この「乗法と除法」の解説は、「冪級数」の解説の一部です。
「乗法と除法」を含む「冪級数」の記事については、「冪級数」の概要を参照ください。
- 乗法と除法のページへのリンク
