付値 付値の延長

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付値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/19 03:10 UTC 版)

付値の延長

体 L の部分体と同型となる体を K とする。K の付値 v_K に対して、L の付値 v_L が存在して

$v_{K}(a)=v_{L}(a)\quad (\forall a\in K)$

を満たすとき、賦値 v_L は賦値 v_K の L への延長または拡張であるといい、v_K は v_L の K への縮小または制限であるという。

付値の延長の存在性について、加法付値に対しては、体 K の任意の拡大体 L と K の加法付値 v に対して、v の L への延長となる、階数が v の階数と等しい付値 v_L が存在する。 また、乗法付値に関しては、非アルキメデス付値は（階数が 1 以下の加法付値である）指数付値と一対一の対応が付けられるので、上記のことから、任意の拡大体に対して与えられた非アルキメデス付値の（非アルキメデス付値である）延長が存在する。 アルキメデス付値に関しては、任意の代数拡大体に対して、与えられたアルキメデス付値の（アルキメデス付値である）延長が存在するが、非アルキメデス付値の場合と異なり、代数拡大ではない拡大体に対して与えられたアルキメデス付値の延長が存在するとは限らない。

例えば、複素数体上の絶対値を、複素数体上の 1-変数有理関数体 C(t) に延長することはできない。しかし、有理数体上の絶対値は実数体上に延長できるので、代数拡大以外の拡大体への延長が全く存在しないというわけではない。

体 L の付値 v の部分体 K への縮小で得られる付値 v_K は、v に対して一意的に決まるが、付値 v_K の L への延長で得られる付値は v だけとは限らない。L が K の有限次拡大体であるとき、最大 [L : K] 個の互いに同値ではない v_K の延長となる付値が存在する。より正確には次が成立する。

体 K に対する加法付値を v とする。L を K の有限次代数拡大体とし、w₁, ... , w_n を v の L への互いに同値ではない延長全体とする。v, w_i それぞれの剰余体、値群をそれぞれ F, F_i, G, G_i とし、e_i = #(G_i/G), f_i = [F_i  : F] とおくと、

$\sum _{i=1}^{n}e_{i}f_{i}\leq [L:K]$

が成立する。 なお上式において、例えば v が離散付値であり L が K 上分離拡大であるならば、等号が成立する。

この定理に現れる e_i, f_i を w_i の v に対する分岐指数、剰余次数（または相対次数）という。

ある i に対して e_i = 1 となるとき、w_i は不分岐であるといい、e_i > 1 であるとき分岐するという。さらに f_i = 1 となるとき、w_i は完全分岐であるという。 特に g = 1 つまり、v の延長が同値なものを除いて w しか存在しないとき、w の v に対する分岐指数 e および剰余次数 f を、L の K に対する分岐指数および剰余次数（または相対次数）という。さらに L の剰余体が K の剰余体の分離拡大であるとき、e = 1, f = [L : K] であるならば拡大 L/K は不分岐、e = [L : K], f = 1 であるならば拡大 L/K は完全分岐であるという。