初等幾何による証明

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初等幾何による証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/03 17:40 UTC 版)

「アポロニウスの円」の記事における「初等幾何による証明」の解説

点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、 AQ:QB=AP:PB AR:RB=AP:PB 内角と外角の二等分線の関係の逆より、PQとPRはそれぞれ∠APBの内角と外角の二等分線である。よって、∠QPR=90°ゆえに、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円である。

初等幾何による証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/21 08:42 UTC 版)

「シムソンの定理」の記事における「初等幾何による証明」の解説

初等幾何による証明 A,B,Cの内の点Pの右回り隣の点をA,左回り隣の点をB,対角点をCとする。AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。 ∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある.∠PAC<90度とする。 点A,P,N,Mは同一円周上にある。A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。 ∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから∠PAM=∠PAC…① 直線BAに対してPとMは反対側にある。Nは直線BA上の点だから直線NAに対してPとMは反対側にあるからNとAは四角形APNMの対角点となるから∠PAM+∠MNP=180度…② 点P,L,B,Nは同一円周上にある。B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから直線BAに対してPとCは反対側にある。 ∠CBP>90度だから直線BAに対してLとCは反対側にあるから直線BAに対してLとPは同じ側にある。 Nは直線BA上の点だから直線BNに対してLとPは同じ側にあるからBNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから∠PNL=∠PBL…③ ∠CBP>90度だから(B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度.∠PAC+∠CBP=180度だから∠PBL=∠PAC…④ ①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。 したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.