初等函数に関する公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)
いくつかの初等函数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。ex、ax、loge x、logax はそれぞれ指数函数と対数函数であり、sin、cos、tan は三角函数、arcsin、arccos、arctan は三角函数の逆函数（逆三角函数）、sinh、cosh、tanh は双曲線函数、arsinh、arcosh、artanh は双曲線函数の逆函数（逆双曲線函数）である。また、三角函数および双曲線函数のべき乗は cos2x := (cos x)2 のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。 初等函数の微分原始関数導関数備考 e x {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}} e x {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}} 指数函数の微分 a x {\displaystyle a^{x}} ( log e a ) a x {\displaystyle \left(\log _{e}a\right)a^{x}} 一般の底の指数函数に対する微分 log e x {\displaystyle \log _{e}x} 1 x {\displaystyle {1 \over x}} 自然対数の微分 log a x {\displaystyle \log _{a}x} 1 x log e a {\displaystyle {1 \over x\log _{e}a}} 一般の底の対数に対する微分 x a {\displaystyle x^{a}} a x a − 1 {\displaystyle ax^{a-1}} べきの微分 sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} 正弦函数の微分 cos x {\displaystyle \cos x} − sin x {\displaystyle -\sin x} 余弦函数の微分 tan x {\displaystyle \tan x} 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x {\displaystyle {1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x} 正接函数の微分 arcsin x {\displaystyle \arcsin x} 1 1 − x 2 , ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)} 逆正弦函数の微分 arccos x {\displaystyle \arccos x} − 1 1 − x 2 , ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle -{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \left(-1<x<1\right)} 逆余弦函数の微分 arctan x {\displaystyle \arctan x} 1 1 + x 2 {\displaystyle {1 \over 1+x^{2}}} 逆正接函数の微分 sinh x {\displaystyle \sinh x} cosh x {\displaystyle \cosh x} 双曲線正弦函数の微分 cosh x {\displaystyle \cosh x} sinh x {\displaystyle \sinh x} 双曲線余弦函数の微分 tanh x {\displaystyle \tanh x} 1 cosh 2 x = 1 − tanh 2 x {\displaystyle {1 \over \cosh ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x} 双曲線正接函数の微分 arsinh x {\displaystyle \operatorname {arsinh} x} 1 1 + x 2 {\displaystyle {1 \over {\sqrt {1+x^{2}}}}} 逆双曲線正弦函数の微分 arcosh x {\displaystyle \operatorname {arcosh} x} 1 x 2 − 1 , ( | x | > 1 ) {\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}},\quad \left(|x|>1\right)} 逆双曲線余弦函数の微分 artanh x {\displaystyle \operatorname {artanh} x} 1 1 − x 2 , ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle {1 \over {1-x^{2}}},\quad \left(-1<x<1\right)} 逆双曲線正接函数の微分
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