複素数の対として
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/15 05:35 UTC 版)
詳細は「ケーリー＝ディクソンの構成法」を参照 四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数全体にケーリー＝ディクソン構成を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対としての構成を一般化したものである。 C2 を複素数体上の二次元ベクトル空間とし、基底 (1, j) をとる。C2 に属するベクトルは ( a + b i ) 1 + ( c + d i ) j {\displaystyle (a+bi)1+(c+di)j} と表される。ここで j2 = −1 および ij = −ji であるものと定めると、分配律により二つのベクトルの掛け算が定義できる。いま、積 ij を k とおくと、通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数 a + bi + cj + dk に対応するものである。C2 の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は ( a + b i , c + d i ) ↔ ( a , b , c , d ) {\displaystyle (a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d)} となる。
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