自然対数とは？わかりやすく解説

自然対数函数のグラフ: この函数は $x$ の増加に伴って緩やかに正の無限大に発散し、 $x$ が $0$ に近づくにともなって緩やかに負の無限大へ発散する（つまり $y$ -軸はひとつの漸近線となる）。ここに、「緩やか」とは任意の冪乗則（冪函数あるいは多項式函数の増大度）との比較においてそれらよりも弱いことを意味する。

実解析において実数の自然対数（しぜんたいすう、英: natural logarithm）は、超越数であるネイピア数 $e (\approx 2.718 281828459)$ を底とする対数を言う。 $x$ の自然対数を $ln x$ や、より一般に $log e x$ あるいは単に（底を省略して） $log x$ などと書く^[1]。通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、 $ln(x)$ や $log(x)$ などのように書いてもよい^{[注釈 1]}^[2]。

本稿では、特に断りが無い限り、 $x$ の自然対数を $ln x$ で表すものとする。

定義により、 $x$ の自然対数とは冪 $e t$ が $x$ 自身に一致するような冪指数 $t$ のことに他ならない。例えば、 $ln 7.5 = 2.0149\dots$ となることは、 $e 2.0149\dots = 7.5$ となることを理由とする。特に $e$ の自然対数は $ln e = 1, (\Leftrightarrow e 1 = e)$ であり、 $1$ の自然対数は $ln 1 = 0 (\Leftrightarrow e 0 = 1)$ である。^[2]

自然対数は、任意の正数 $a$ に対して逆数函数 $y = 1/ x$ の $1$ から $a$ までの間のグラフの下にある面積（ $a < 1$ のときは面積にマイナス記号をつけた値）として定義することもできる。この定義の単純さは自然対数を含む多くの公式によく馴染むことから、「自然」の語が冠されているのである。自然対数のこの定義は、負数や任意の非零複素数に対しても拡張することができる（ただし、それは多価函数を導く。複素対数函数の項を参照）。

実変数実数値の函数と見た自然対数函数 $ln$ は自然指数函数 $exp$ の逆函数であり、それは二つの恒等式 $exp(ln x) = x (x > 0)$ と $ln exp(x) = x$ の成立を意味する。

他の任意の対数がそうであるように、自然対数は

\ln xy=\ln x+\ln y

自然対数 · 指数関数

応用: 複利 · オイラーの等式 · オイラーの公式 · 半減期 · 指数増加/減衰

$e$ の定義: $e$ の無理性 · $e$ の表現 · リンデマン–ワイエルシュトラスの定理

人物: ネイピア · オイラー

シャヌエルの予想 (英語版)

歴史

→詳細は「対数の歴史（英語版）」を参照

自然対数の概念が表立って現れるのは、1649年より以前にグレゴワール・ド・サン゠ヴァンサン（英語版）とアルフォンス・アントニオ・ド・サラサ（英語版）による^[3]の成した業績においてであり、その中には双曲的扇形（英語版）の面積を決定することによる直交双曲線 $xy = 1$ の求積が含まれている。それら解法は、こんにち自然対数に結び付けられる性質を満足する「双曲対数」函数の必要から生じたものである。

自然対数への初期の言及はニコラス・メルカトルが1668年に著わした自身の著書 Logarithmotechnia（「対数の方法」）^[4] にあるが、既に1619年には数学教師のジョン・スパイデル（英語版）が事実上の自然対数表を編纂している^[5]。

記法の慣習

記法 " $ln x$ " および " $log e x$ " は何れも紛れなく $x$ の自然対数を表しているが、底を明示しない記法 " $log x$ " もまた自然対数を表すのに用いられることがある。このような記号の使い方は数学では広く用いられ、一部の自然科学の文脈やさまざまなプログラミング言語^{[注釈 2]}でも用いられる。ただし、別の文脈では " $log x$ " が常用対数（底 $10$ の対数）を表すのに用いられる。

符号位置

記号	Unicode	JIS X 0213	文字参照	名称
㏑	`U+33D1`	`-`	`㏑` `㏑`	SQUARE LN

「自然」の意味

双曲線 $y = 1/ x$ (赤) と $x = 1$ から $6$ までの面積 (橙の網掛け): この面積の値は $6$ の自然対数と等しい

直観的には、常用の記数法が底 $10$ の位取りであるため、10を底とする「常用対数」がよほど「自然」に感じられるかもしれない。だが、数学的に見れば10は何ら著しい特徴を持つ数ではなく、10 を用いるのは文化的な理由（典型的には両手の指の数が10本あること）からだ^[6]。文化的な理由ではほかにも 5, 8, 12, 20, 60 などに基づく命数法がしばしば用いられる^[7]^[8]^[9]。

自然対数 $log e$ が「自然」であるというのは、数学において自然に生じ、よく見かけるということを根拠とするものである。例えば対数函数の微分の問題^[10] ${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}\cdot {\frac {d}{dx}}[\ln(x)]={\frac {1}{x\ln(b)}}$

自然対数

ln(a)

は曲線

f (x) = 1/ x

の

1

から

a

までの面積で視覚化できる。

a < 1

では

a

から

1

までの面積を負で勘定する。

この双曲線の下にある面積は対数法則を満足する。ここでは $A (s, t)$ は $s$ と $t$ の間の双曲線下の面積を表している。

自然対数 $ln$ は直交双曲線（英語版） $1/ x$ の面積として定義される。それは具体的には定積分として

\ln a:=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx

z = Re Log (x +i y)

z = | Im Log (x +i y) |

z = | Log (x +i y) |

これらを重ね合わせた図

バナッハ環における対数関数

→詳細は「行列の対数函数」を参照

$| x | < 1$ を満たす $x$ に対して、テイラー展開

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,{x^{n} \over n}=x-{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 3}-{x^{4} \over 4}+\cdots

[1]

[注釈 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[注釈 2]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

自然対数とは？ わかりやすく解説