自然指数函数

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指数関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 06:50 UTC 版)

底が e である指数関数（グラフの 1 マスは 1）

実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある^{[1][注釈 1]}。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。

一般に、a > 0 かつ a ≠ 1 なる定数 a に関して、（主に実数の上を亙る）変数 x を a^x へ送る関数は、「a を底とする指数関数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪関数とは対照的である。

しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）^{[注釈 2]}はネイピア数 e (= 2.718281828…) を底とする関数 x ↦ e^x である。これを exp x のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しく特異な性質を持つ。底 e を他の底 a に取り換えるには自然対数 ln x を用いて、等式

${\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}$

赤線（―）は指数関数を表わす。黒い横線（―）は指数関数の曲線が緑の縦線（―）に交わる点を示している。緑の縦線を一定間隔で配置すると、黒の横線の間隔は急激に広がっていくことが分かる。

ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数関数は生じてくる（指数関数的増大または指数関数的減少）。

そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌイが (Bernoulli 1683)^[3] においてこのような複利計算から今日 e と書かれる数（ネイピア数）

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

指数関数（青線：―）と、原点における指数関数のテイラー展開の第 n + 1 項までの和（赤線：―）。

指数関数 ${\displaystyle \exp(x)}$

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