ラプラシアンとの関係
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「軌道角運動量」の記事における「ラプラシアンとの関係」の解説
実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して Δ = 1 r 2 ( Δ r + Δ S ) {\displaystyle \Delta ={1 \over r^{2}}(\Delta _{r}+\Delta _{S})} と動径方向と球面方向にわけると、 Δ r = ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) {\displaystyle \Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)} 、 Δ S = − 1 ℏ 2 L 2 ^ {\displaystyle \Delta _{S}=-{1 \over \hbar ^{2}}{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}} が成立する。
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ラプラシアンとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:30 UTC 版)
幾分不正確な点も含むが、ƒ のリース変換は次の方程式の解の第一偏導函数を与える。 ( − Δ ) 1 2 u = f . {\displaystyle {(-\Delta )^{\frac {1}{2}}u=f}.} ここで Δ はラプラシアンである。したがって ƒ のリース変換は次のように書くことが出来る： R f = ∇ ( − Δ ) − 1 2 f . {\displaystyle {Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}.} 特に R i R j Δ u = − ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j {\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} であるため、リース変換はそのラプラシアンのみによって、函数の全ヘッセ行列に関する情報を再び得ることを可能にする。 これをより正確に述べる。u はシュワルツ函数とする。このとき実際、フーリエ乗数の陽形式によって、次が得られる。 R i R j ( Δ u ) = − ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j . {\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.} この等式は一般に、超函数の意味で真ではない。例えば、u が Δu ∈ L2(Rd) であるような緩増加超函数であるなら、ある多項式 Pij に対して ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j = − R i R j Δ u + P i j ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)} と結論付けることが出来る。
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