ラプラシアンについて
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)
「遅延ポテンシャル」の記事における「ラプラシアンについて」の解説
ラプラシアン Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Delta ={\nabla }^{2}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {z}^{2}}}} (S2-4-1) は、スカラー作用素なので、スカラー場に作用できるが、ベクトル場の各成分関数に対して作用すると考えることにより、ベクトル場にも作用できる。 ラプラシアンが、スカラー場fに作用する際には、以下の等式が成立する Δ [ f ] = div [ grad [ f ] ] {\displaystyle \Delta [f]=\operatorname {div} [\operatorname {grad} [f]]} (S2-4-2) ラプラシアンが、ベクトル場Xに作用する際には、以下の等式が成立する。 Δ [ X ] = grad [ div [ X ] ] − rot [ rot [ X ] ] {\displaystyle \Delta [X]=\operatorname {grad} [\operatorname {div} [X]]-\operatorname {rot} [\operatorname {rot} [X]]} (S2-4-3) 上式の詳細な導出過程は、例えば、を参照のこと。
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