1次元デカルト座標の場合の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/16 07:42 UTC 版)
「正準量子化」の記事における「1次元デカルト座標の場合の例」の解説
1次元の量子系を考え、波動関数の状態空間として、座標表示したものを選ぶ。すなわち、座標xと時間tの関数 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,\,t)} のうち、自乗可積分なもの（座標表示の波動関数）全体が、系のヒルベルト空間をなす。ここで、座標 x {\displaystyle \,x} と正準共役運動量 p x {\displaystyle \,p_{x}} を、 x ^ ψ ( x , t ) = x ψ ( x , t ) {\displaystyle {\hat {x}}\psi (x,t)=x\psi (x,t)} p ^ x ψ ( x , t ) = − i ℏ ∂ ∂ x ψ ( x , t ) {\displaystyle {\hat {p}}_{x}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial {}x}}\psi (x,t)} で定義される演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 、 p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} で置き換える。このとき、 [ x ^ , p ^ x ] ψ ( x , t ) = i ℏ ψ ( x , t ) {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]\psi (x,t)=i\hbar \psi (x,t)} となり、 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 、 p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} が正準交換関係をみたしていることがわかる。 つまり、座標表示では掛け算演算子としての x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} と微分演算子としての p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} が、正準変数 x , p x {\displaystyle x,\,p_{x}} の正準量子化による量子力学的表現となる。 系の古典力学的なハミルトニアンが H ( x , p x ) = p x 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle H(x,p_{x})={\frac {p_{x}^{\,2}}{2m}}+V(x)} で与えられるとすると、正準量子化により、量子力学的なハミルトニアンは H ^ = H ( x ^ , p ^ x ) = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + V ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}}_{x})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)} となる。
※この「1次元デカルト座標の場合の例」の解説は、「正準量子化」の解説の一部です。
「1次元デカルト座標の場合の例」を含む「正準量子化」の記事については、「正準量子化」の概要を参照ください。
- 1次元デカルト座標の場合の例のページへのリンク
