1次元の格子振動の量子化とは? わかりやすく解説

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1次元の格子振動の量子化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/19 01:14 UTC 版)

フォノン」の記事における「1次元の格子振動の量子化」の解説

1次元量子的な調和振動子はN個の同種原子から成る。これはフォノン考え上で、最も簡単な量子モデルである。このモデル直ち2次元3次元一般化することができる。 質点位置平衡位置からのずれx1, x2…として記述される。(すなわちxi = 0は、粒子iが平衡位置にあることを意味する)2次元上の場合では xiベクトル量となる。この系のハミルトニアン次のように書ける。 H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i j } ( n n ) ( x ix j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}} ここでmは各原子質量(ここでは全ての原子等しいと仮定する)、xipiそれぞれi番目の原子位置演算子運動量演算子であり、和は最近接において行う。しかし格子は、粒子のようにふるまう波動としての側面現れる慣習として、変数として粒子座標代わりに基準モード波数ベクトル用いたフーリエ空間における波を扱う。基準モードの数は、粒子数と等しい。しかし、フーリエ空間は系の周期性考え上で非常に有用である。 xk離散フーリエ変換として定義されるN個の基準座標Qkpkフーリエ変換として定義されるN個の共役運動量Πkを導入するQ k = 1 N ∑ l e i k a l x l Π k = 1 N ∑ l ei k a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}} knフォノン波数であり、すなわち2πを波長割ったのである。 これらは実空間もしくは波数空間における次の交換関係満たす。 [ x l , p m ] = i ℏ δ l , m [ Q k , Π k ′ ] = 1 N ∑ l , m e i k a l ei k ′ a m [ x l , p m ] = i ℏ N ∑ l e i a l ( k − k ′ ) = i ℏ δ k , k ′ [ Q k , Q k ′ ] = [ Π k , Π k ′ ] = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}} 一般的な結果から、 ∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k kQ k Q k ′ ∑ l e i a l ( k + k ′ ) e i a m k ′ = ∑ k Q k Qk e i a m kl p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}} 位置エネルギー項は 1 2 m ω 2 ∑ j ( x jx j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k a − e − i k a ) = 1 2k m ω k 2 Q k Q − k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}} ここで ω k = 2 ω 2 ( 1 − cosk a ) = 2 ω | sink a 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|} ハミルトニアン波数空間において次のように書ける H = 1 2 m ∑ k ( Π k Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)} 位置変数の間のカップリング解きほぐされる。Q とΠがエルミートであれば(これらはそうではない)、変換されハミルトニアンはN個の独立調和振動子記述する量子化されたあとの形は境界条件依存する。簡単のため周期的境界条件課すと、(N + 1)番目の原子は1番目の原子同等になる。これは物理的に原子鎖の始まりと終わり繋ぎ合わせることに相当する。この結果量子化次のように書ける。 k = k n = 2 π n N a for  n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 .   {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ } nの上限は波長最小値から求められ格子面間隔aの2倍となる。 調和振動子固有値、またはモードωkのエネルギー準位次のように書ける。 E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots } このエネルギー準位等間隔であり、それぞれ次のうになる1 2 ℏ ω ,   3 2 ℏ ω ,   5 2 ℏ ω   ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots } ここで1/2ħωは量子的な調和振動子零点エネルギーである。 次のエネルギー準位押し上げるためには、正確にエネルギーħωだけが調和振動子格子供給されなければならない電磁場量子化されたときのフォトン光子)との比較から、振動エネルギー量子フォノン呼ばれる全ての量子系波動性と粒子性同時に示す。フォノン粒子性第二量子化生成消滅演算子によって理解される

※この「1次元の格子振動の量子化」の解説は、「フォノン」の解説の一部です。
「1次元の格子振動の量子化」を含む「フォノン」の記事については、「フォノン」の概要を参照ください。

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