1次元の調和振動子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 01:44 UTC 版)
量子力学では運動量演算子 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} を p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} と書く(正準量子化)。 ℏ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数、 i {\displaystyle i} は虚数。よってハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は H ^ = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} となる。 1次元の量子的な調和振動子についての時間依存しないシュレーディンガー方程式は、以下のように書ける。 ( − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ) ϕ ( x ) = E ϕ ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\phi (x)=E\phi (x)} この方程式は解析的に解くことができ、その解（エネルギー固有状態）はエルミート多項式 H n {\displaystyle H_{n}} を使って以下のように表される。 ϕ n ( x ) = A H n ( ξ ) exp ( − ξ 2 2 ) {\displaystyle \phi _{n}(x)=AH_{n}(\xi )\exp \left(-{\frac {\xi ^{2}}{2}}\right)} ただし、 ξ = m ω ℏ x {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x} 、 A {\displaystyle A} は規格化定数で次式で与えられる。 A = 1 n ! 2 n m ω π ℏ {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{n!2^{n}}}{\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}}}} また、エルミート多項式 H n {\displaystyle H_{n}} は H n ( x ) = ( − 1 ) n exp ( x 2 ) d n d x n exp ( − x 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp \left(x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\exp \left(-x^{2}\right)} で定義される。具体例として n = 0 , 1 , 2 {\displaystyle n=0,1,2} の場合を示すと H 0 = 1 {\displaystyle H_{0}=1} H 1 = 2 x {\displaystyle H_{1}=2x} H 2 = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}=4x^{2}-2} である。基底状態（ n = 0 {\displaystyle n=0} ）のエネルギー固有状態はガウス波束であり、 x = 0 {\displaystyle x=0} 付近に局在している。エネルギー固有値は次のようになる。 E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\qquad (n=0,1,2,...)} つまりエネルギー準位は ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } という均等な間隔で並ぶ。 n = 0 {\displaystyle n=0} の状態は零点振動、そのエネルギー固有値 E 0 = ℏ ω / 2 {\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2} は零点エネルギーと呼ばれる。
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