1次元格子点（点列）のフーリエ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/19 00:21 UTC 版)
「逆格子ベクトル」の記事における「1次元格子点（点列）のフーリエ変換」の解説
3次元の実空間中にある無限に続く点列を考える。点間隔を表すベクトルを a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{1}} とすると、 r = n 1 a 1 ( n 1 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}\quad (n_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これをフーリエ変換すると、逆空間（k空間、波数空間、逆格子空間）では次の式で表されような無限に続く平面の列（法線 a 1 {\displaystyle \mathbf {a} _{1}} 、面間隔 2 π / | a 1 | {\displaystyle 2\pi /|\mathbf {a} _{1}|} ）になる。 k ⋅ a 1 = 2 π m 1 ( m 1 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} 証明点列を次のような「くし型関数」として表す。 ∑ n 1 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 ) ( n 1 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\quad (n_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これをフーリエ変換すると、3次元デルタ関数の性質より、 ∫ − ∞ ∞ ( ∑ n 1 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 ) ) e − i k ⋅ r d r = ∑ n 1 = − ∞ ∞ e − i n 1 k ⋅ a 1 = 2 π ∑ m 1 = − ∞ ∞ δ 3 ( k ⋅ a 1 − 2 π m 1 ) ( m 1 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r} &=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }e^{-in_{1}\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}}\\&=2\pi \sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\end{aligned}}} このデルタ関数の中身が0になる条件式 k ⋅ a 1 = 2 π m 1 ( m 1 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}\quad (m_{1}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} は無限に続く平面の列を表している。
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