多様体上のホッジスター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
「ホッジ双対」の記事における「多様体上のホッジスター」の解説
上の構成を向きづけられた n-次元のリーマン多様体、あるいは擬リーマン多様体の余接空間に対しても適用でき、k-形式のホッジ双対 (n − k)-形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式のL2-ノルムである内積を与える。 Λ k ( T ∗ M ) {\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}M)} の切断 η と ζ に対し、 ( η , ζ ) = ∫ M η ∧ ⋆ ζ = ∫ M ⟨ η , ζ ⟩ d Vol {\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge \star \zeta =\int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \;\mathrm {d} {\text{Vol}}} である（切断の集合は、 Ω k ( M ) = Γ ( Λ k ( T ∗ M ) ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(T^{*}M))} と書かれることが多い。 Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} の元は、外 k-形式と呼ばれる）。 さらに一般的には、向き付けされていない場合は、k-形式のホッジスターを (n − k)-擬微分形式（英語版）(pseudo differential form)、すなわち、標準ラインバンドル Ω n(M) に値を持つ微分形式として定義することができる。
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