微分幾何学における方向微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/08 15:43 UTC 版)
「方向微分」の記事における「微分幾何学における方向微分」の解説
「接ベクトル空間」も参照 M を微分可能多様体とし、p を M 内のある点とする。f を、点 p のある近傍において定義され、p において微分可能なある関数とする。v を点 p における M への接ベクトルとするとき、f の v に沿った方向微分は、 ∇ v f ( p ) {\displaystyle \nabla _{v}f(p)} （共変微分を参照）や L v f ( p ) {\displaystyle L_{v}f(p)} （リー微分を参照）、あるいは v p ( f ) {\displaystyle v_{p}(f)} （接ベクトル空間を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる：γ : [-1,1] → M を、γ(0) = p および γ′(0) = v を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は ∇ v f ( p ) = d d τ f ∘ γ ( τ ) | τ = 0 {\displaystyle \nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}} と定義される。この定義は、γ′(0) = v を満たすようなものとして γ が選ばれている限り、γ の選び方によらない。
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