微分式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 23:19 UTC 版)
時間 t に関する導関数のラプラス変換は多項式の差となって現れる。実際に、一階の導関数をラプラス変換すると以下のように f (0)（元の式に 0 を代入した値）が現れる。 L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) − f ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} f(t)}{\mathrm {d} t}}\right]=sF(s)-f(0)} また、二階導関数の場合は f (0) に加え、t = 0 における微分係数 f'(0) が現れる。 L [ d 2 f ( t ) d t 2 ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}f(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)} これを繰り返すと、一般の n 階の導関数のラプラス変換は以下のようになる。 L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) − ∑ k = 0 n − 1 s n − k − 1 f ( k ) ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right]=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)} = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ( 1 ) ( 0 ) − s n − 3 f ( 2 ) ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{(1)}(0)-s^{n-3}f^{(2)}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}
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