微分形式による一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/24 00:03 UTC 版)
「ストークスの定理」の記事における「微分形式による一般化」の解説
境界付き多様体上の微分形式に対する一般化されたストークスの定理は次のように定式化される。 ∫ M d ω = ∫ ∂ M ω . {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .} ここに、M は向きの付いたn次元多様体であり、ωは M 上の（少なくともC 1級の）n－1次微分形式でコンパクトな台を持つものとする。∂Mは M の境界を、dω は ω の外微分を表している。∂M には M の構造から誘導される n－1 次元向きつき多様体の構造が入る。 この定理は「ある量(微分形式)の微分を特定の領域で積分した値は、境界で元の量を評価（積分）することによっても得られる」と解釈でき、微積分学の基本定理の自然な拡張になっている。実際、Mが区間（1次元多様体）[a,b]で f(x) が M 上の微分可能な関数のとき、ω として 0次微分形式f(x)を考えれば ∂M = {a , b} 上でのω の積分はf(b) － f(a)となり、一方 M上での dω = f ′ (x) dxの積分は ∫ a b f ′ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\mathrm {d} x} となって普通の意味での微積分学の基本定理が得られる。
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