微分形式の空間の次元との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/11 06:13 UTC 版)
「ベッチ数」の記事における「微分形式の空間の次元との関係」の解説
X が閉多様体のとき、ベッチ数はド・ラームコホモロジーの次元をあたえる。閉形式の空間を完全形式の空間でわった商空間の次元をあたえる。これはド・ラームの定理とホモロジー論の普遍係数定理によりえられる。 また X がリーマン多様体であれば、ホッジ理論によればベッチ数は調和形式の空間の次数を与えることがわかる。 モース理論によりベッチ数の交代和と、対応する適切なモース函数の臨界点の数 Ni の交代和に関する不等式が以下のようにあたえられる。 b i ( X ) − b i − 1 ( X ) + ⋯ ≤ N i − N i − 1 + ⋯ . {\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .} ウィッテンは、モース函数を使いこれらの不等式の説明をして、ド・ラーム複体の外微分を変形した。
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