微分形式による表現
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「ストークスの定理」の記事における「微分形式による表現」の解説
多様体における微分形式の理論を用いれば、ストークスの定理を洗練された形式で表現できるともに、背後に存在する一般化された定式化を示唆する。ベクトル場の線積分は1形式の積分、ベクトル場の回転の面積分は2形式の積分で書き表すことができ、C が S の境界であることを明示的に表すために ∂S と記せば、ストークスの定理は ∫ S ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z ∧ d x + ( d Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y = ∫ ∂ S P d x + Q d y + R d z {\displaystyle \int _{S}{\biggl (}{\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\biggl (}{\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}{\biggr )}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=\int _{\partial S}P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z} となる。線積分における1形式をあらためて、 ω = P d x + Q d y + R d z {\displaystyle \omega =P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z} とすると、ω に外微分を作用させた dω は d ω = ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z ∧ d x + ( d Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x ∧ d y {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\biggl (}{\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}{\biggr )}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\biggl (}{\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}{\biggr )}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\biggr )}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であり、面積分に現れる2形式に一致する。したがって、ストークスの定理は ∫ S d ω = ∫ ∂ S ω {\displaystyle \int _{S}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial S}\omega } と表すことができる。
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微分形式による表現
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「マクスウェルの方程式」の記事における「微分形式による表現」の解説
「p-形式電磁気学」も参照 マクスウェルの方程式は多様体理論における微分形式によって簡明に表現することができる。 まず電磁ポテンシャル Aμ により、1次微分形式 A = A μ d x μ = ϕ d t − A x d x − A y d y − A z d z {\displaystyle A=A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }=\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\,\mathrm {d} x-A_{y}\,\mathrm {d} y-A_{z}\,\mathrm {d} z} を導入する。これに外微分を作用させることで2次微分形式 F ≡ d A = 1 2 ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) d x μ ∧ d x ν = 1 2 F μ ν d x μ ∧ d x ν = E x d t ∧ d x + E y d t ∧ d y + E z d t ∧ d z − B x d y ∧ d z − B y d z ∧ d x − B z d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}F&\equiv \mathrm {d} A={\tfrac {1}{2}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&={\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=E_{x}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}} が定義される。さらに F のホッジ双対として 2次微分形式 H ≡ 1 μ 0 F ∗ = 1 4 μ 0 ϵ μ ν ρ σ F μ ν d x ρ ∧ d x σ = 1 2 H μ ν d x μ ∧ d x ν = H x c d t ∧ d x + H y c d t ∧ d y + H z c d t ∧ d z + D x c d y ∧ d z + D y c d z ∧ d x + D z c d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}H&\equiv {\tfrac {1}{\mu _{0}}}F^{*}={\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }F^{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\rho }\wedge \mathrm {d} x^{\sigma }\\&={\tfrac {1}{2}}H_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=H_{x}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+H_{y}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+H_{z}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z+D_{x}c\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+D_{y}c\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+D_{z}c\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}} が定義される。 4元電流密度により1次微分形式 J = j μ d x μ = ρ c 2 d t − j x d x − j y d y − j z d z {\displaystyle J=j_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }=\rho c^{2}\mathrm {d} t-j_{x}\mathrm {d} x-j_{y}\mathrm {d} y-j_{z}\mathrm {d} z} を導入し、これのホッジ双対により3次微分形式 J ∗ = 1 3 ! ϵ μ ν ρ σ j μ d x ν ∧ d x ρ ∧ d x σ = ρ c d x ∧ d y ∧ d z − j x c d t ∧ d y ∧ d z − j y c d t ∧ d z ∧ d x − j z c d t ∧ d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}J^{*}&={\tfrac {1}{3!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }j^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }\wedge \mathrm {d} x^{\rho }\wedge \mathrm {d} x^{\sigma }\\&=\rho c\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}} を定義すれば、外微分の作用により運動方程式(2a,2b)に対応して d H = J ∗ {\displaystyle \mathrm {d} H=J^{*}} となる。 外微分の性質 ddξ=0 から(1a,1b)に対応する d F = d d A = 0 {\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {dd} A=0} と、連続の方程式に対応する d J ∗ = d d H = 0 {\displaystyle \mathrm {d} J^{*}=\mathrm {dd} H=0} が得られる。
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