p-形式電磁気学

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p-形式電磁気学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/25 08:13 UTC 版)

理論物理学では、p-形式電磁気学(p-form electrodynamics)は、電磁気学のマックスウェルの理論の一般化である。

通常の（1-形式の）可換な電磁気学

1-形式 A はゲージ対称性

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +d\alpha$

を持っている。ここに α は任意の固定された 0-形式で、d は外微分、密度(density) 1 を持ち、連続の方程式

$d*\mathbf {J} =0$

を満たすゲージ不変であるベクトルカレント(vector current)を J とする。ここの * はホッジ双対である。

代わりに、J を (d − 1)-閉形式とする。

F は外微分 $\mathbf {F} =d\mathbf {A}$ として定義されるゲージ不変2-形式である。

A は運動方程式

$d*\mathbf {F} =*\mathbf {J}$

を満たす（この方程式は明らかに連続の方程式を意味している）。

これは下記の作用から導くことができる。

$S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge *\mathbf {F} -\mathbf {A} \wedge *\mathbf {J} \right]$

ここに M は時空多様体である。

可換な p-形式電磁気学

p-形式 B がありゲージ対称性

$\mathbf {B} \rightarrow \mathbf {B} +d\mathbf {\alpha }$

を持っている。ここに α は任意の固定された (p-1)-形式であり、d は外微分であり、ゲージ不変なp-ベクトル(p-vector) J は密度(density) 1 を持ち、連続の方程式

$d*\mathbf {J} =0$

を満たす。ここに * はホッジ双対である。

代わりに、J を (d-p)-閉形式とする。

C は外微分 $\mathbf {C} =d\mathbf {B}$ として定義されたゲージ不変な (p+1)-形式である。

B は運動方程式

$d*\mathbf {C} =*\mathbf {J}$

を満たす（この方程式は明らかに連続の方程式を意味する）。

これは作用

$S=\int _{M}\left[{\frac {1}{2}}\mathbf {C} \wedge *\mathbf {C} +(-1)^{p}\mathbf {B} \wedge *\mathbf {J} \right]$

から従う。ここに M は時空多様体である。

他の符号の規約もある。

カルブ・ラモン場(Kalb-Ramond field)は、p = 2 の弦理論での例である。電荷のソースがD-ブレーンであるラモン・ラモン場(Ramond-Ramond field)は、すべての p の値に対する例であり、11次元の超重力理論やM-理論の中では、3-形式の電磁気学である。

非可換の一般化

まさに、電磁気学の非可換一般化としてヤン・ミルズ理論を導いたように、p-形式電磁気学の非可換一般化も得られる。典型的にはジャーブ(gerbe)を使うことが求められる。

参考文献

• Henneaux; Teitelboim (1986), "p-Form electrodynamics", Foundations of Physics 16 (7): 593-617, [Digital object identifier], :doi:10.1007/BF01889624 10.1007/BF01889624

• Bunster, C.; Henneaux, M. (2011). "Action for twisted self-duality". Physical Review D 83 (12).
• Navarro; Sancho (2012), "Energy and electromagnetism of a differential k-form ", J. Math. Phys. 53, 102501 (2012) [Digital object identifier],doi:10.1063/1.4754817 10.1063/1.4754817