p-群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/09 06:06 UTC 版)
数学の特に群論において、与えられた素数 p に対する p-準素群（ピーじゅんそぐん、英: p-primary group）あるいは、p-群（ピーぐん、英: p-group）もしくは準素群（じゅんそぐん、英: primary group）とは、任意の元の位数が p の冪になっているようなねじれ群をいう。すなわち p-群において、各元 g は非負整数 n を適当に選べば g の pn-乗が単位元に一致する。
注釈
- ^ より一般に冪零群 G の非自明な正規部分群 N は中心 Z(G) と非自明に交わる[1]。
- ^ 位数 p2 の群 G が可換であることは、p-群の中心が自明でないことに注意すれば、非自明な中心元 g を取って、それがもとの群 G を生成する場合（つまり G は巡回群であり、したがって可換）と、そうでない場合は g は位数 p の部分群を生成するから g とその軌道上に無い G の適当な元 h で G が生成される（p より大きい部分群の位数は p2 であり、それは G 自身に他ならない）が、g は中心元ゆえ h とは可換であり、したがって G は可換となる。前者の場合は G = Cp2 であり、後者の場合は G = Cp × Cp である。
出典
- ^ Clement, A. E.; Majewicz; Zyman, M. (2017). The Theory of Nilpotent Groups. Birkhäuser. p. 67. ISBN 978-3-319-66211-4. MR3729243. Zbl 1402.20002. "Theorem 2.28 (K. A. Hirsch)"
- ^ “Every group of order p5 is metabelian”. 2012年9月17日閲覧。
- ^ Burnside 1897, Chapter V, Section 73, 74: Table of groups of order p2, p3, p4.
- ^ Leedham-Green & McKay 2002, p. 214.
- ^ Hall 1940.
- ^ Leedham-Green & McKay 2002.
- ^ Sims 1965.
- ^ Besche, Eick & O'Brien 2002.
- ^ Glauberman 1971.
[続きの解説]
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