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p-進量子力学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/11 04:03 UTC 版)

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本来の表記は「 $p$ -進量子力学」です。この記事に付けられた題名は技術的な制限または記事名の制約により不正確なものとなっています。

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この図のようなポテンシャルの井戸のエネルギーレベルを計算する人がいるかもしれない。^{[note 1]}

$p$ -進量子力学( $p$ -adic quantum mechanics)は、基礎物理学の性質を理解しようとする比較的新しいアプローチであり、p-進解析の量子力学への応用である。p-進数は、1899年頃、ドイツの数学者のクルト・ヘンゼル(Kurt Hensel)により発見された非直感的な数理系であり、1930年代に、クロード・シュヴァレー(Claude Chevalley)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により、密接に関連するアデール(adele)とイデール(idele)が導入された。彼らの研究は、現在では、数学の主要な分野の中へ反映されている。 $p$ -進解析は物理学分野へ適用されることがあるが、ロシアの数学者、ヴォロヴィッチ(Volovich)が1987年に重要な主題として取り上げる^[1]までは、そのようなことはなかった。現在では、国際的な雑誌で多くの研究論文がこの主題を扱っている。^[2]^[3]

本記事では、数学的な概念をレヴューとして、この問題の入門的解説を行う。シュレディンガー方程式に似た方程式からより研究のアイデアを得るというときの、この問題の現代の話題を考える。最後に、いくかの詳細な例を挙げる。

始めに

対称なパターンは、一見無関係に見えるパターンから出現する。

多くの自然の研究は、プランク長で発生することへの疑問を扱う。そこでは、通常は現実に存在するようには思えないことが起きるが、ある意味では、実験装置や器具では識別できなくなり、そのような実験はできないとも言える。量子力学でのヒルベルト空間の定式化と宇宙の広大さを統一することは、手ごわい課題と言える。大半の研究者は、プランク長よりも小さな（領域の）幾何学やトポロジーは、通常の幾何学やトポロジーには関係する必要がないと考えた。一方、まさに花の色が原子から出現するように、通常の幾何学やトポロジーがプランク長よりも小さな領域の幾何学やトポロジーから出現すると考える者もいる。現在、この問題への多くのフレームワークが提案されていて、 $p$ -進解析はその中でいくつかの完成されたものを持つ妥当な候補である。

$p$ -進解析を科学へ応用するもう一つの動機は、場の量子論の問題である発散は、やはり、課題として残っている。別のアプローチにより、繰り込みのようなエレガントではないテクニックは、必然的とはいえないのでは、とも思われている。^[4] 他の考えとして、 $p$ -進解析で素数はなんらの特別な状態を持たないので、アデールを考えたほうがより自然ではないだろうか。

p-進解析には 2つの主要なアプローチの方法がある。^[5]^[6] 一つの考え方は、素粒子を p-進ポテンシャルの井戸の中で考え、目標は滑らかな複素数値波動函数を持つ解を見つけることにある。ここでの解は、日常生活にありふれた量をとる。もうひとつの考え方は、p-進ポテンシャルの井戸を考えるところまでは同じであるが、目標が $p$ -進数に値を持つ波動関数を見つけることにある。この場合には、物理的な解釈がより難しくなる。未だに数学的にはぴったりした性質を見出すことができていないが、人々は探し続けている。ある科学者により2005年に次のようにまとめている。「私は単純にこれらの全てを楽しい一連の偶然と考えることはできなく、『トイモデル』として捨て去ることができない。私は、この仕事に価値と必要の双方を見いだせると考えてます」と。^[7]

p-進解析とアデール的解析のレビュー

通常の実数はだれもが慣れているが、mod n の整数は未だに慣れているとは言えない。mod n での整数（論）は、数論のコースで勉強することであり、非常に重要であることがわかる。

オストロフスキーの定理は、本質的には、考えている距離に依存した 2種類の有理数の完備化しか存在しないことを言っている。2種類とは実数とp-進数である。2つの完備化の方法は、距離の測り方が異なっているので、異なる完備化となっている^{[note 2]}。前者は |x + y| ≤ |x| + |y| の形をした三角不等式に従うが、しかし、後者はより強い |x + y| ≤ max{|x|, |y|} という形に従う。これを超距離空間(ultrametric space)と呼ぶこともある。

これらの 2つの基本的アイデアは、時間と空間の両方の中で非常に異なった振る舞いをするので、それらをどのように統一するのかという疑問が発生する。2つをつなぎ合わせて一つの数学的対象へ統一するときにどのようなパターンが発生するかを考えることにより、この問題を解決することができる。これがアデール環である。アデール環は、

\mathbb {A} =\{x_{\infty },x_{2},x_{3},x_{5}...\}

パーコレーション理論（英語版）(Percolation theory)は、多くのICの振る舞いや他の設計の研究に使われている。無秩序な物性を計測できるほど、物質は小さいからである。多くの無秩序な物質は、”大きなスケールの広い範囲で幾何学的には非等質な性質を示す。”^[29] さらに重要なことは、パーコレーションの閾値（英語版）(percolation threshold)の近くでは、幾何学はフラクタルであり、これが相転移の理論から来ることは良く知られている。2011年、ある研究グループは、シルピンスキーガスケット(Sierpinski gasket)上のポテンシャル論を研究した。^[29] 彼らは数学的な定式化を開発し、たとえこのテクニックが多様体上でなくとも、どのようにしてこの空間のポテンシャル論の開発に使うことができるかを示した。別のグループは、シエルピンスキーガスケットを周期的に繰り返すジョゼフソン接合の列を研究した。^[30]

脚注

^ 知られている解析解は存在しない。代わりに、数値的なテクニックがこのタイプの難問を解くことに使われている。
^ 2つの空間は完備距離空間として完備であるが、代数的には両方とも完備ではない。そのため無限次元の空間へ一般化することが要求される。

^ 量子力学では、1-次元の輪(ring)の中の粒子の場合を箱の中の粒子と同様に扱う。輪の上に限定された（テクニカルには、構成空間である円

S^{1}