電磁テンソルによる表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「電磁テンソルによる表現」の解説
すでに電磁テンソルがローレンツ変換に対して共変であることを示したので、マクスウェル方程式を電磁場テンソルで表せば、マクスウェル方程式もローレンツ変換に対して共変であることを示せる。 電磁テンソルと4元電流密度を使うとマクスウェル方程式の2式 ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t = μ 0 j {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}&=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}\end{aligned}}} はいずれも ∂ α F α β = μ 0 j β {\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\beta }} と同一の形で表現でき、残りの2式 ∇ ⋅ B = 0 ∂ B ∂ t + ∇ × E = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=0\\{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}+\nabla \times {\boldsymbol {E}}&=0\end{aligned}}} はいずれも ∂ γ F α β + ∂ α F β γ + ∂ β F γ α = 0 {\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0} （α, β, γ は相異なる） と同一の形で表現できる。なお、リッチ計算の記法を用いると、上の式は ∂ [ α F β γ ] = 0 {\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0} とも表記できる。 マクスウェル方程式は微分形式と外微分を用いるとさらに簡潔に表現できる事が知られているが、微分形式に関する予備知識を必要とするので本節では述べない（マクスウェル方程式#微分形式による表現を参照）。
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