一般相対性理論でのテンソル場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)
「一般相対性理論の数学」の記事における「一般相対性理論でのテンソル場」の解説
詳細は「テンソル場」を参照 多様体上のテンソル場とは、多様体の各点へテンソルを貼り付ける写像である。この概念は、ファイバー束の考え方を導入することにより、より明確にすることができる。この文脈ではファイバー束は多様体のすべての点におけるすべてのテンソルを集めたものを意味している、したがってそれらすべてを一つの大きな対象に「束ねる」ことをテンソルバンドルと呼ぶ。テンソル場はそのため、多様体からテンソルバンドルへの写像として定義され、各点 p {\displaystyle \scriptstyle p} には p {\displaystyle \scriptstyle p} におけるテンソルが伴われている。 テンソル場の概念は一般相対性理論において非常に重要である。例えば、恒星の周りの幾何学は各点の計量テンソルにより記述される、だから時空の各点において計量の値は物質粒子の経路を解くことにより与えられねばならない。別な例としては、荷電粒子の運動を決定するため、（電磁場のテンソルにより与えられる）電場と磁場の値や電荷を持つブラックホールの周りの各点での計量がある。 ベクトル場は、ランク 1の反変テンソル場である。相対性理論における重要なベクトル場は 四元速度（英語版）(four-velocity) U a = x ˙ a {\displaystyle \scriptstyle U^{a}\;=\;{\dot {x}}^{a}} 。これは単位固有時間あたりの移動距離である。 四元加速度（英語版）(four-acceleration) A a = x ¨ a {\displaystyle \scriptstyle A^{a}\;=\;{\ddot {x}}^{a}} 四元カレント J a {\displaystyle \scriptstyle \,J^{a}} 。電荷や電流密度を記述する。 がある。他に相対性理論において重要なテンソルには次がある。 ストレスエネルギーテンソル T a b {\displaystyle \scriptstyle \,T^{ab}} 。ランク 2の対称テンソル 電磁場テンソル F a b {\displaystyle \scriptstyle \,F^{ab}} 。ランク 2の反対称テンソル 「テンソル」という用語はある点における対象を意味しているにもかかわらず、時空上のテンソル場を意味するものとして、単に「テンソル」という用語がよく用いられる。 計量の定義されたものの上の時空の各点は、シルベスターの慣性法則を使い、その計量をミンコフスキー形式へ帰着させることができる。
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