一般的証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:52 UTC 版)
任意の可測集合 A に対して、 1A をその特性関数、つまり x ∈ A ならば 1A(x) = 1 、そうでなければ 0 としよう。At を At = {x ∈ X| |f(x)| ≥ t} として定義すれば、 0 ≤ t 1 A t ≤ | f | 1 A t ≤ | f | {\displaystyle 0\leq t\,1_{A_{t}}\leq |f|1_{A_{t}}\leq |f|} となり、ゆえに ∫ X t 1 A t d μ ≤ ∫ A t | f | d μ ≤ ∫ X | f | d μ {\displaystyle \int _{X}t\,1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}|f|\,d\mu \leq \int _{X}|f|\,d\mu } ここで、この不等式の左辺は t ∫ X 1 A t d μ = t μ ( A t ) {\displaystyle t\int _{X}1_{A_{t}}\,d\mu =t\mu (A_{t})} と同じであることに注意しよう。すると t μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ ∫ X | f | d μ {\displaystyle t\mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq \int _{X}|f|\,d\mu } であり、また t > 0 であるから、両辺を t で割れば μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu } となる。
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