軌道要素間の関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 00:57 UTC 版)
「2行軌道要素形式」の記事における「軌道要素間の関係」の解説
軌道要素のうち、2行軌道要素形式には次の要素が直接含まれている。 t 0 {\displaystyle t_{0}} : 元期 (Epoch) i 0 {\displaystyle i_{0}} : 元期における 軌道傾斜角 (inclination) Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} : 元期における 昇交点赤経 (longitude of the ascending node) e 0 {\displaystyle e_{0}} : 元期における軌道離心率 (Orbital eccentricity) ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} : 元期における近点引数 (Argument of periapsis) M 0 {\displaystyle M_{0}} : 元期における平均近点角 (mean anomaly) n 0 {\displaystyle n_{0}} : 元期における平均運動 (Mean Motion) これらの要素は、厳密な二体問題が成立する場合は定数であるが、次のような原因による摂動で変動する。 地球の重力ポテンシャルの球対称からのずれ 地球の大気による抗力 太陽光圧、太陽風圧 地球以外の天体(月、太陽、他の惑星など)の重力 2行軌道要素形式には、主に平均運動の時間変動を補正する、次のような情報が含まれている。 n ˙ 0 / 2 {\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2} : 元期における平均運動の時間についての1次微分を2で割った値。 n ¨ 0 / 6 {\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6} : 元期における平均運動の時間についての2次微分を6で割った値。 BSTAR : 地球大気の抗力による平均運動への影響を表すパラメーター n ˙ 0 / 2 {\displaystyle {\dot {n}}_{0}/2} および n ¨ 0 / 6 {\displaystyle {\ddot {n}}_{0}/6} はSGPで用いられているが、SGP4では用いられていない。逆に BSTAR はSGP4で用いられているが、SGPでは用いられていない。 SGPやSGP4では、地球の重力ポテンシャルのモデルなどを用いて、2行軌道要素形式に含まれる元期 t0 における軌道要素の値から、任意の時刻 t における次の軌道要素の値を予測している。 i {\displaystyle i} : 時刻 t {\displaystyle t} における軌道傾斜角 Ω {\displaystyle \Omega } : 時刻 t {\displaystyle t} における昇交点赤経 e {\displaystyle e} : 時刻 t {\displaystyle t} における軌道離心率 ω {\displaystyle \omega } : 時刻 t {\displaystyle t} における近点引数 M {\displaystyle M} : 時刻 t {\displaystyle t} における平均近点角 n {\displaystyle n} : 時刻 t {\displaystyle t} おける平均運動 以下の軌道要素は、2行軌道要素形式には元期 t0 における値が直接は含まれていないが、任意の時刻 t における平均運動 n と離心率 e から、t における値を計算可能である。 a {\displaystyle a} : 時刻 t {\displaystyle t} における軌道長半径(Semimajor axis) l {\displaystyle l} : 時刻 t {\displaystyle t} における半通径(または半直弦)(semi-latus rectum) q {\displaystyle q} : 時刻 t {\displaystyle t} における近点距離 (Periapsis) Q {\displaystyle Q} : 時刻 t {\displaystyle t} における遠点距離 (Ap(o)apsis) T {\displaystyle T} : 時刻 t {\displaystyle t} における軌道周期(Orbital period) これらには、次のような関係がある。 a = G M E n 2 3 {\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\frac {GM_{E}}{n^{2}}}}} l = a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle l=a(1-e^{2})} Q = a ( 1 + e ) {\displaystyle Q=a(1+e)} q = a ( 1 − e ) {\displaystyle q=a(1-e)} T = 2 π n {\displaystyle T={\frac {2\pi }{n}}} ここで GME は地心重力定数(万有引力定数と地球質量の積)でありGME = 3.986004418(8)×1014 m3 s−2 である。 地球中心と衛星間の距離を r とすると、 r は真近点角 ν の関数として次の形に表すことができる。 r = l 1 + e cos ν {\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \nu }}} また、r は、離心近点角 E の関数として次の形に表すことができる。 r = a ( 1 − e cos E ) {\displaystyle r=a(1-e\cos E)} 真近点角 ν と離心近点角 E の関係は、次のようになる。 tan ν 2 = 1 + e 1 − e tan E 2 {\displaystyle \tan {\frac {\nu }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}} 離心近点角 E と平均近点角 M の関係は次の式(ケプラー方程式)で表される。 M = E − e sin E {\displaystyle M=E-e\sin E} 平均近点角 M は次の式で表される。 M = M 0 + n 0 ( t − t 0 ) + δ M {\displaystyle M=M_{0}+{n_{0}}(t-t_{0})+\delta M} δM は摂動による M の変動を表す項であり、摂動がなければ δM = 0 である。 時刻 t における 平均運動 n は 、時刻 t における平均近点角 M の時間微分である。 n = M ˙ = n 0 + δ M ˙ {\displaystyle n={\dot {M}}=n_{0}+\delta {\dot {M}}}
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