軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
「スピン角運動量」の記事における「軌道角運動量と全角運動量のスピン群による表記」の解説
nを3次元空間の単位ベクトルするとき、nを回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量はSO(3)のユニタリ表現λが誘導する写像λ*と同型写像 ( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {so}}(3)} を用いて L ^ n = i ℏ λ ∗ ( F n ) = i ℏ λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ( X n ) ∈ { L 2 ( R 3 ) {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \lambda _{*}(F_{\mathsf {n}})=i\hbar \lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathsf {n}})\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ演算子 } {\displaystyle \}} と表記できる事が(J1)と(D2)から従う。ここで「 ∘ {\displaystyle \circ } 」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も(F2)から S ^ n = i ℏ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) ∈ { V s {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })\in \{V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}} と定義されていた。 nを回転軸に持つ一粒子の全角運動量演算子 J ^ n {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }} を J ^ n = L ^ n ⊗ i d + i d ⊗ S ^ n ∈ { L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }={\hat {L}}_{\mathbf {n} }\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes {\hat {S}}_{\mathbf {n} }\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}} と定義すると、 J ^ n = i ℏ ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) ( X n ) {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }=i\hbar (\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})(X_{\mathsf {n}})} と表記できる。 ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) {\displaystyle (\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})} は ρ : exp ( A ) ∈ S p i n ( 3 ) → exp ( ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) ( A ) ) ∈ { L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle \rho ~:~\exp(A)\in {\mathsf {Spin}}(3)\to \exp((\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})(A))\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のユニタリ演算子 } {\displaystyle \}} が誘導する写像であるので、一粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量のいずれも i ℏ × {\displaystyle i\hbar \times } (Spin(3)のユニタリ表現が誘導する写像)(Xn) …(K1) という形で書けている事がわかる。 複数粒子に対する軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量は一粒子のものの和として表記できるので、やはり(K1)の形で表記できる事がわかる。 よってSpin(3)のユニタリ表現の具体的な形を特定する事ができれば、（一粒子もしくは複数粒子に対する）軌道角運動量、スピン角運動量、全角運動量を具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、Spin(3)のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、Spin(3)のユニタリ表現を使って(K1)の形で表記できる演算子の性質を調べる。
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