放物線柱座標の例とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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放物線柱座標の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:52 UTC 版)

放物線柱座標（en:parabolic cylindrical coordinates）におけるハミルトニアンは H = p σ 2 + p τ 2 2 m ( σ 2 + τ 2 ) + p z 2 2 m + U ( σ , τ , z ) {\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z)} ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が以下のように同じような形で与えられた場合である。 U ( σ , τ , z ) = U σ ( σ ) + U τ ( τ ) σ 2 + τ 2 + U z ( z ) {\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)} U σ ( σ ) {\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )} 、 U τ ( τ ) {\displaystyle U_{\tau }(\tau )} と U z ( z ) {\displaystyle U_{z}(z)} は任意の関数である。完全に分離された S = S σ ( σ ) + S τ ( τ ) + S z ( z ) − E t {\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入し、 1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) + 1 2 m ( σ 2 + τ 2 ) [ ( d S σ d σ ) 2 + ( d S τ d τ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m U τ ( τ ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E} 最初の常微分方程式 1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) = Γ z {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}} を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式が得られる。 ( d S σ d σ ) 2 + ( d S τ d τ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m U τ ( τ ) = 2 m ( σ 2 + τ 2 ) ( E − Γ z ) {\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)} さらにこれは独立な 2 つの常微分方程式 ( d S σ d σ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m σ 2 ( Γ z − E ) = Γ σ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }} ( d S τ d τ ) 2 + 2 m a 2 U τ ( τ ) + 2 m τ 2 ( Γ z − E ) = Γ τ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }} に分離でき、これらを解けば S {\displaystyle S} の完全な解が得られる。