放物線分散関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/09 20:03 UTC 版)
フェルミ気体中の自由電子などのように分散関係が放物線を描く (p = 2) 場合、n 次元系における状態密度 D n ( E ) {\displaystyle D_{n}\left(E\right)} は以下のようになる。 D 1 ( E ) = 1 c k ( E − E 0 ) {\displaystyle D_{1}\left(E\right)={\frac {1}{\sqrt {c_{k}(E-E_{0})}}}} D 2 ( E ) = π c k {\displaystyle D_{2}\left(E\right)={\frac {\pi }{c_{k}}}} D 3 ( E ) = 2 π E − E 0 c k 3 {\displaystyle D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}} ここで E > E 0 {\displaystyle E>E_{0}} とし、 D ( E ) = 0 {\displaystyle D(E)=0} と E < E 0 {\displaystyle E<E_{0}} の場合はする。 1 次元系では DOS は E が E0 に落ちる際に発散する。2 次元系では E に依存しなくなる。3 次元系では状態密度はエネルギーの平方根に比例して増加する。 係数部分を全て書き下すと、3 次元系における DOS は以下のように書ける。 N ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m ℏ 2 ) 3 / 2 E − E 0 {\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}} ここで V は総体積であり、N(E−E0) には2重のスピン縮退を含む。
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