分散関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/31 14:46 UTC 版)
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分散関係（ぶんさんかんけい、英: dispersion relation[1]）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。
概要
任意の波動はフーリエ変換により「特定の波数 k のみを持つ単色波 ei(kx − ωt) の集まり」に分解できる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、系の性質に応じて満たす関係
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分散関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/09 20:03 UTC 版)
粒子の運動エネルギーは波数ベクトル k の大きさと向きに依存する。たとえばフェルミ気体中の電子の運動エネルギーは以下のように得られる。 E = E 0 + ( ℏ k ) 2 2 m {\displaystyle E=E_{0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}} ここで m は電子質量である。この分散関係は球対称かつ単調増加であるから、DOS を容易に計算することができる。 原子鎖の縦モードフォノンの分散関係は、図2に示すような 1 次元 k 空間上の運動エネルギーについての関数となり、数式で表わすと以下のようになる。 E = 2 ℏ ω 0 | sin ( k a / 2 ) | {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}|\sin(ka/2)|} ここで ω 0 = k F / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{F}/m}}} は振動子周波数、m は原子の質量、kF は原子間に働く力の力定数、a は原子間距離である。力定数が小さく、k ≪ π / a が満たされるような値である場合は分散関係は線形となる。 E = ℏ ω 0 k a {\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka} k ≈ π / a の場合は以下のようになる。 E = 2 ℏ ω 0 | cos ( π / 2 − k a / 2 ) | {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}|\cos(\pi /2-ka/2)|} 変数変換 q = k − π/a を施して q が小さくなるとき、分散関係は以下のように書ける。 E = 2 ℏ ω 0 [ 1 − ( q a / 2 ) 2 ] {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}[1-(qa/2)^{2}]}
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