後退放物型方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/31 08:53 UTC 版)
「放物型偏微分方程式」の記事における「後退放物型方程式」の解説
u t = L u {\displaystyle u_{t}=Lu\ } の形を取る偏微分方程式について考える。ただし L {\displaystyle L} は正の楕円型作用素とする。問題は必ずしも良設定である必要はなく（解が有限時間で発散する、あるいは存在すらしない場合も考える）、様々な他の偏微分方程式の解の特異点の reflection について研究する際に生じる問題であるとする 。 この類の方程式は、標準的な双曲型方程式と密接に関係している。それは、次の様ないわゆる「後退熱方程式」を考えることによって分かる： { u t = Δ u on Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on ∂ Ω × ( 0 , T ) , u = f on Ω × { T } . {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}} { u t = − Δ u on Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on ∂ Ω × ( 0 , T ) , u = f on Ω × { 0 } . {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}
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