boundary element method

大車林

境界要素法

英語 boundary element method

対象物の表面(境界)を要素分割し計算する手法。境界積分方程式を解くことにより、境界だけを対象に計算を行うため、有限要素法に比べ要素数がはるかに少ない。しかし、境界内部は均一な特性をもつ物質でなければならない。

参照 有限要素法

※「大車林」の内容は、発行日である2004年時点の情報となっております。

ウィキペディア

境界要素法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 04:37 UTC 版)

境界要素法（きょうかいようそほう、英: boundary element method、BEM）とは、汎用性の高い離散化解析手法の1つで^[1][2][3]、有限差分法^[4][5]、有限体積法^[6]、有限要素法^{[7][8][9][10]}と並び、汎用離散化解析手法の主要3解法の1つとして理工学の分野で受け入れられている。電子計算機の発明・発展以前から進められてきた、応用数学における積分方程式の研究^{[11][12][13][14]}に端を発していることもあり、境界積分方程式法（Boundary Integral Equation Method、略してBIEM）と呼ばれることもある^[15][16]。

電磁気学では、この境界要素法をもちいた電磁界解析をモーメント法（Method of Moments、MOM）と呼んでいる^{[17][18][19][20]}。

解法の基本的な考え方^[1][2][3]

解析手法は、積分方程式の定式化と離散化の2段階を経て構成される。

境界積分方程式の定式化^[1][2][3]

境界要素法では、まず対象とする問題の支配（微分）方程式から境界積分方程式を導出する。定式化には直接法と間接法の2種類がある。今日では、支配方程式の未知量をそのまま積分方程式の未知量として取り扱うことのできる、直接法定式化を採用する場合が多い。ここでは、2次元ラプラス問題を例に、直接法定式化による境界積分方程式の導出方法を説明する。

例：2次元ラプラス問題

ラプラス問題は、支配方程式：

${\displaystyle \nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})=0,\quad \quad ({\boldsymbol {x}}\in \Omega )}$

この節の加筆が望まれています。

得意とする問題

上述のような当該解法の特徴，および利点・欠点を考慮して，今日において境界要素法が得意とする問題としては以下のものがある．

（開領域の）波動伝播の問題

波動伝搬問題とは、対象とする領域内で物理量の擾乱が「波動」として有限な速さで伝播していく問題であり、その多くは開領域の問題（領域に無限遠を含む問題）または半無限領域の問題として定義されることが多い^{[44][45][46][47]}。境界要素法では、開領域の問題をそのまま取り扱うことができ^[1][2][3]、特に波動問題では、無限遠での波動の放射が近似処理なしに表現できる。有限差分法や有限要素法では動的応答の観測点から十分離れたところに仮想的に境界を設け、そこでは波動の放射を表現するような近似的な取り扱いが必要となる。そのような点から、境界要素法は地盤振動解析^[48]や地震波の伝播解析、音響問題の解析^[49][50][51]、電磁場解析^{[17][18][19][20]}などで用いられることが多い。ただし、閉領域を対象とした動的問題（振動問題など）においては、有限要素解析の場合のようなモード解析^[52]ができない上、有限要素法と比べて計算時間を要することから、あまり多用されないようである。

形状最適化問題

境界要素法の利点の1つに、境界上の離散化だけで問題を解くことができる点があった^[1][2][3]。形状最適化問題とは、工学分野の構造部材の形状を、所定の目的関数と制約条件の下で自動的に最適化する問題である^{[53][54][55][56]}。部材の供用を弾性限界内に考えた場合、弾性応答は境界積分方程式を解くことで把握でき、設計感度の計算も同様となる。感度計算は形状の変更のたびに必要となるが、境界上の離散化のみでよいため、要素分割等の作業の手間を大幅に削減することができる。

関連記事

• 数値解析
• CAE
• 有限要素法
• 代用電荷法

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ ^{a b c d e f g} 境界要素法 ―基本と応用―、2004年10月、978-4-254-23104-5、J.T.カチカデーリス 著／田中正隆 ・荒井雄理 訳、朝倉書店。
2. ^ ^{a b c d e f g} Wrobel, L. C.; Aliabadi, M. H. (2002), The Boundary Element Method, New York: John Wiley & Sons, p. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (in two volumes).
3. ^ ^{a b c d e f g} Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "Heritage and early history of the boundary element method", Engineering Analysis with Boundary Elements, 29 (3): 268–302.
4. ^ ^{a b c d} Strikwerda, J. C. (2004). Finite difference schemes and partial differential equations. SIAM.
5. ^ ^{a b c d} Smith, G. D. (1985). Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods. Oxford University Press.
6. ^ LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
7. ^ ^{a b c d e f g} 森正武. (1986) 有限要素法とその応用. 岩波書店.
8. ^ ^{a b c d e f g} 菊池文雄. (1999). 有限要素法概説 [新訂版]. サイエンス社.
9. ^ ^{a b c d e f g} 菊池文雄. (1994). 有限要素法の数理. 培風館.
10. ^ ^{a b c d e f g} 有限要素法で学ぶ現象と数理―FreeFem++数理思考プログラミング―, 日本応用数理学会 監修・大塚 厚二・高石 武史著, 共立出版.
11. ^ 吉田耕作『積分方程式論』岩波全書、1950
12. ^ 溝畑茂. 積分方程式入門. 朝倉書店.
13. ^ Kondo, J. Integral Equations. Oxford, England: Clarendon Press, 1992.
14. ^ Wazwaz, A. M. (2011). Linear and nonlinear integral equations. Berlin: Springer.
15. ^ Budreck, D. E., & Achenbach, J. D. (1988). Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method.
16. ^ Dehghan, M., & Mirzaei, D. (2008). Numerical solution to the unsteady two‐dimensional Schrödinger equation using meshless local boundary integral equation method. International journal for numerical methods in engineering, 76(4), 501-520.
17. ^ ^{a b} Gibson, W. C. (2014). The method of moments in electromagnetics. CRC Press.
18. ^ ^{a b} Harrington, R. F. (1987). The method of moments in electromagnetics. Journal of Electromagnetic waves and Applications, 1(3), 181-200.
19. ^ ^{a b} Newman, E. H. (1988). Simple examples of the method of moments in electromagnetics. IEEE Transactions on Education, 31(3), 193-200.
20. ^ ^{a b} Lezar, E., & Davidson, D. B. (2010). GPU-accelerated method of moments by example: Monostatic scattering. IEEE Antennas and Propagation Magazine, 52(6), 120-135.
21. ^ Slimane Adjerid and Mahboub Baccouch (2010) Galerkin methods. Scholarpedia, 5(10):10056.
22. ^ Weisstein, Eric W. "Gaussian Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
23. ^ Podio-Guidugli P., Favata A. (2014) The Kelvin Problem. In: Elasticity for Geotechnicians. Solid Mechanics and Its Applications, vol 204. Springer, Cham
24. ^ 畔上秀幸, & 呉志強. (1994). 線形弾性問題における領域最適化解析: 力法によるアプローチ. 日本機械学会論文集 A 編, 60(578), 2312-2318.
25. ^ 山本善之, & 中野孝昭. (1977). 深海域における定常波動問題の近似解析法. 日本造船学会論文集, 1977(142), 28-35.
26. ^ 瀬戸秀幸, & 山本善之. (1974). 有限要素法による定常波動問題の基礎的研究. 日本造船学会論文集, 1974(136), 181-190.
27. ^ 山本善之, 中野孝昭, & 光田哲久. (1976). 有限要素法による定常波動問題の基礎的研究 (第 2 報). 日本造船学会論文集, 1976(140), 121-126.
28. ^ 瀬戸秀幸. (1977). 有限要素法による定常波動問題の基礎的研究 (第 3 報). 日本造船学会論文集, 1977(141), 50-60.
29. ^ 瀬戸秀幸. (1978). 有限要素法による定常波動問題の基礎的研究 (第 4 報). 日本造船学会論文集, 1978(144), 88-95.
30. ^ Foerster, A., & Kuhn, G. (1994). A field boundary element formulation for material nonlinear problems at finite strains. International journal of solids and structures, 31(12-13), 1777-1792.
31. ^ ^{a b} 田端正久; 偏微分方程式の数値解析, 2010. 岩波書店.
32. ^ ^{a b} 登坂宣好, & 大西和榮. (2003). 偏微分方程式の数値シミュレーション. 東京大学出版会.
33. ^ ^{a b c} Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics.
34. ^ ^{a b c} Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
35. ^ ^{a b c} Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1st ed.). Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.
36. ^ Martin, P. A., & Rothen, F. (2013). Many-body problems and quantum field theory: an introduction. Springer Science & Business Media.
37. ^ Coifman, R., Rokhlin, V., & Wandzura, S. (1993). The fast multipole method for the wave equation: A pedestrian prescription. IEEE Antennas and Propagation magazine, 35(3), 7-12.
38. ^ Darve, E. (2000). The fast multipole method: numerical implementation. Journal of Computational Physics, 160(1), 195-240.
39. ^ Per-Gunnar Martinsson and Vladimir Rokhlin (2005). A fast direct solver for boundary integral equations in two dimensions, Journal of Computational Physics, 205(1), 1–23.
40. ^ 牧野淳一郎, & 川井敦. (1999). 研究展望: 高速多重極展開法-粒子法への応用を中心として. 応用力学論文集, 2, 101-109.
41. ^ Walnut, D. F. (2013). An introduction to wavelet analysis. Springer Science & Business Media.
42. ^ Qian, S. (2002). Introduction to time-frequency and wavelet transforms (Vol. 68). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR.
43. ^ Newland, D. E. (2012). An introduction to random vibrations, spectral & wavelet analysis. Courier Corporation.
44. ^ Achenbach, J. (2012). Wave propagation in elastic solids. Elsevier.
45. ^ Tatarski, V. I. (2016). Wave propagation in a turbulent medium. Courier Dover Publications.
46. ^ Brillouin, L. (2013). Wave propagation and group velocity (Vol. 8). Academic Press.
47. ^ Dingemans, M. W. (1997). Water wave propagation over uneven bottoms (Vol. 13). World Scientific.
48. ^ 東平光生, & 吉田望. (1989). 時間領域の有限要素法と境界要素法の結合解法による地盤振動解析. 土木学会論文集, (410), 395-404.
49. ^ 鈴木真二, 今井守之, & 石山慎一. (1986). 境界要素法とモード解析法による構造体の振動・音響解析. 日本機械学会論文集 C 編, 52(473), 310-317.
50. ^ 松本敏郎, 田中正隆, & 山田泰永. (1993). 境界要素法による音響問題の設計感度解析法. 日本機械学会論文集 C 編, 59(558), 430-435.
51. ^ 田中正隆, & 増田佳文. (1987). 音響問題に対する境界要素法はん用解析システムの開発. 日本機械学会論文集 C 編, 53(486), 387-391.
52. ^ Petyt, M. (2010). Introduction to finite element vibration analysis. Cambridge University Press.
53. ^ 畔上秀幸. (2016). 形状最適化問題. 森北出版.
54. ^ 畔上秀幸. (1997). 形状最適化問題の解法. 計算工学, 2(4), 239-247.
55. ^ Sokolowski, J., & Zolésio, J. P. (1992). Introduction to shape optimization. Springer, Berlin, Heidelberg.
56. ^ Ding, Y. (1986). Shape optimization of structures: a literature survey. Computers & Structures, 24(6), 985-1004.

参考文献

• Banerjee, Prasanta Kumar (1994), The Boundary Element Methods in Engineering (2nd ed.), London, etc.McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-707769-3.
• Beer, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian, The Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientists, Berlin – Heidelberg – New York: Springer-Verlag, pp. XIV+494, ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "Heritage and early history of the boundary element method", Engineering Analysis with Boundary Elements, 29 (3): 268–302.
• Katsikadelis, John T. (2002), Boundary Elements Theory and Applications, Amsterdam: Elsevier, pp. XIV+336, ISBN 978-0-080-44107-8.
• Wrobel, L. C.; Aliabadi, M. H. (2002), The Boundary Element Method, New York: John Wiley & Sons, p. 1066, ISBN 978-0-470-84139-6 (in two volumes).
• 加川幸雄：「開領域問題のための 有限／境界要素法」、サイエンス社 (1983年7月10日)．
• 田中正隆、松本敏郎、中村正行：「境界要素法」培風館（計算力学とCAEシリーズ2）、ISBN 4-563-03377-4 (1991年7月10日).
• 小林昭一（編著）:「波動解析と境界要素法」、京都大学学術出版会、ISBN 4-87698-091-8 (2000年2月25日).
• 加川幸雄、榎園正人、武田殻：「電気・電子境界要素法」、森北出版、ISBN 4-627-71511-0 (2001年2月22日).
• J.T.カチカデーリス：「境界要素法：基本と応用」、朝倉書店、ISBN 4-254-23104-0 (2004年10月25日).

表 話 編 歴 偏微分方程式の数値解法
有限差分法	放物型偏微分方程式 FTCSスキーム（英語版） クランク・ニコルソン法（英語版） 双曲型偏微分方程式 ラックス・フリードリヒ法（英語版） ラックス・ウェンドロフ法（英語版） マコマック法（英語版） 風上スキーム（英語版） 特性曲線法 その他 方向交替陰解法（英語版） (ADI) 有限差分時間領域法 (FDTD)
有限体積法	ゴドノフスキーム（英語版） 高分解能スキーム（英語版） 保存法則用単調性上流中心差分スキーム（英語版） 移流上流分離法（英語版） リーマン解法（英語版）
有限要素法	hp-FEM（英語版） 拡張型有限要素法（英語版） (XFEM) 不連続ガラーキン法（英語版） (DG) スペクトル要素法（英語版） (SEM) モルタル有限要素法（英語版）
メッシュフリー法・粒子法	SPH法 MPS法（英語版） MPM法（英語版）
領域分割法	シューア補元法（英語版） 仮想領域法（英語版） シュヴァルツ交代法（加法シュヴァルツ法（英語版）・抽象加法シュヴァルツ法（英語版）） ノイマン・ディレクレ法（英語版） ノイマン・ノイマン法（英語版） ポアンカレ・ステクロフ法（英語版） バランシング領域分割法（英語版） (BDD) BDDC法（英語版） FETI法（英語版） FETI-DP法（英語版）
その他	スペクトル法 擬似スペクトル法（英語版） (DVR) 線分割法（英語版） (MOL) 多重格子法 選点法 レベルセット法（英語版） 境界要素法 埋め込み境界法 解析要素法（英語版） DSMC法 PIC法 等幾何解析（英語版） 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 可積分アルゴリズム 代用電荷法 超収束 重み付き残差法

Weblio日本語例文用例辞書

「boundary element method」の例文・使い方・用例・文例

• 《主に英国で用いられる》 初等教育 (《主に米国で用いられる》 elementary education).
• 「資格商法」とは文字通りには「qualification selling method」という意味であり、根拠のない資格や学位を法外な値段で売る詐欺的ビジネスである。