精度の改善
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
精度を改善するために an を評価する。 log a m a m + 1 = log m ! − ( m + 1 2 ) log m + m − log ( m + 1 ) ! + ( m + 3 2 ) log ( m + 1 ) − m − 1 = ( m + 1 2 ) log ( 1 + 1 m ) − 1 = ( m + 1 2 ) ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k 1 m k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k + 1 1 m k + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 2 k 1 m k − 1 = ∑ k = 2 ∞ ( k − 1 ) ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) 1 m k {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}&=\log m!-\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log m+m-\log(m+1)!+\left(m+{\frac {3}{2}}\right)\log(m+1)-m-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{m}}\right)-1\\&=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}{\frac {1}{m^{k}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2k}}{\frac {1}{m^{k}}}-1\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}{\frac {1}{m^{k}}}\end{aligned}}} log a n 2 π = ∑ m = n ∞ log a m a m + 1 = ∑ k = 2 ∞ ( k − 1 ) ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) ∑ m = n ∞ 1 m k = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) { 1 n k − 1 + O ( 1 n k ) } = 1 12 n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{n}}{\sqrt {2\pi }}}&=\sum _{m=n}^{\infty }\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\left\{{\frac {1}{n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}} 従って n ! ∼ 2 π n ( n e ) n exp ( 1 12 n ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}\right)}
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