三角関数の公式による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:48 UTC 版)
「マチンの公式」の記事における「三角関数の公式による証明」の解説
マチンの公式は三角関数の公式を用いて証明できる。 二倍角公式を2回用いて、 tan ( 2 arctan 1 5 ) = 2 tan ( arctan 1 5 ) 1 − tan 2 ( arctan 1 5 ) = 2 ⋅ 1 5 1 − ( 1 5 ) 2 = 5 12 {\displaystyle \tan \left(2\arctan {\frac {1}{5}}\right)={\frac {2\tan(\arctan {\frac {1}{5}})}{1-\tan ^{2}(\arctan {\frac {1}{5}})}}={\frac {2\cdot {\frac {1}{5}}}{1-({\frac {1}{5}})^{2}}}={\frac {5}{12}}} tan ( 4 arctan 1 5 ) = tan ( 2 ⋅ 2 arctan 1 5 ) = 2 tan ( 2 arctan 1 5 ) 1 − tan 2 ( 2 arctan 1 5 ) = 2 ⋅ 5 12 1 − ( 5 12 ) 2 = 120 119 {\displaystyle \tan \left(4\arctan {\frac {1}{5}}\right)=\tan \left(2\cdot 2\arctan {\frac {1}{5}}\right)={\frac {2\tan(2\arctan {\frac {1}{5}})}{1-\tan ^{2}(2\arctan {\frac {1}{5}})}}={\frac {2\cdot {\frac {5}{12}}}{1-({\frac {5}{12}})^{2}}}={\frac {120}{119}}} 加法定理により、 tan ( 4 arctan 1 5 − π 4 ) = tan ( 4 arctan 1 5 ) − tan π 4 1 + tan ( 4 arctan 1 5 ) tan π 4 = 120 119 − 1 1 + 1 ⋅ 120 119 = 1 239 {\displaystyle \tan \left(4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})-\tan {\frac {\pi }{4}}}{1+\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})\tan {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+1\cdot {\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}} 逆関数をとって、 arctan 1 239 = 4 arctan 1 5 − π 4 {\displaystyle \arctan {\frac {1}{239}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}} したがって、 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 = π 4 {\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}
※この「三角関数の公式による証明」の解説は、「マチンの公式」の解説の一部です。
「三角関数の公式による証明」を含む「マチンの公式」の記事については、「マチンの公式」の概要を参照ください。
- 三角関数の公式による証明のページへのリンク
