三角関数を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/03 17:20 UTC 版)
「ヘロンの公式」の記事における「三角関数を用いた証明」の解説
三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。 △ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。 このとき△ABCの面積 S は、 S = a h 2 = a b 2 sin C = a b 2 1 − cos 2 C = a b 2 ( 1 + cos C ) ( 1 − cos C ) = a b 2 ( 1 + a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) ( 1 − a 2 + b 2 − c 2 2 a b ) = a b 2 a 2 + 2 a b + b 2 − c 2 2 a b × − ( a 2 − 2 a b + b 2 − c 2 ) 2 a b = 1 4 [ ( a + b ) 2 − c 2 ] [ − { ( a − b ) 2 − c 2 } ] = 1 4 [ ( a + b + c ) ( a + b − c ) ] [ − ( a − b + c ) ( a − b − c ) ] = 1 4 ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {ah}{2}}={\frac {ab}{2}}\sin C={\frac {ab}{2}}{\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\frac {ab}{2}}{\sqrt {{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\times {\frac {-(a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2})}{2ab}}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(a+b)^{2}-c^{2}][-\{(a-b)^{2}-c^{2}\}]}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {[(a+b+c)(a+b-c)][-(a-b+c)(a-b-c)]}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}\end{aligned}}} となる。ここで、 a + b + c = 2 s {\displaystyle a+b+c=2s} とおくと、 S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} が得られる。
※この「三角関数を用いた証明」の解説は、「ヘロンの公式」の解説の一部です。
「三角関数を用いた証明」を含む「ヘロンの公式」の記事については、「ヘロンの公式」の概要を参照ください。
- 三角関数を用いた証明のページへのリンク
