三角関数の加法定理を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「三角関数の加法定理を用いた証明」の解説
三角関数は級数など（幾何以外の原理）によって定義されているものとし、オイラーの公式など（証明に本定理を使用しない方法）によって導出された三角関数の加法定理を用いれば 1 = cos 0 = cos ( θ − θ ) = cos θ cos θ + sin θ sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ {\displaystyle 1=\cos 0=\cos(\theta -\theta )=\cos \theta \cos \theta +\sin \theta \sin \theta =\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta } または sin 2 θ + cos 2 θ = sin θ cos ( π 2 − θ ) + cos θ sin ( π 2 − θ ) = sin π 2 = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin \theta \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+\cos \theta \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin {\frac {\pi }{2}}=1} が得られる。また、加法定理を応用した三角関数の積和公式を用いて sin 2 θ = cos ( θ − θ ) − cos ( θ + θ ) 2 = 1 − cos 2 θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &={\frac {\cos(\theta -\theta )-\cos(\theta +\theta )}{2}}\\&={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\end{aligned}}} cos 2 θ = cos ( θ − θ ) + cos ( θ + θ ) 2 = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\theta &={\frac {\cos(\theta -\theta )+\cos(\theta +\theta )}{2}}\\&={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\end{aligned}}} したがって sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が得られる。両辺に c 2 を乗算して c 2 sin 2 θ + c 2 cos 2 θ = c 2 {\displaystyle c^{2}\sin ^{2}\theta +c^{2}\cos ^{2}\theta =c^{2}} ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば c 2 × ( a c ) 2 + c 2 × ( b c ) 2 = c 2 {\displaystyle c^{2}\times \left({a \over c}\right)^{2}+c^{2}\times \left({b \over c}\right)^{2}=c^{2}} よって a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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