三角関数の不定積分を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「三角関数の不定積分を用いた証明」の解説
下記のように関数を定める。 f ( θ ) = sin 2 θ + cos 2 θ . {\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta .\end{aligned}}} 上記を漸化式を利用して不定積分すると ∫ f ( θ ) d θ = ∫ ( sin 2 θ ) d θ + ∫ ( cos 2 θ ) d θ = ( 1 2 θ − 1 2 sin θ cos θ + C 1 ) + ( 1 2 θ + 1 2 sin θ cos θ + C 2 ) = θ + C 1 + C 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\int f(\theta )d\theta &=\int (\sin ^{2}\theta )d\theta +\int (\cos ^{2}\theta )d\theta \\&=\left({1 \over 2}\theta -{1 \over 2}\sin \theta \cos \theta +C_{1}\right)+\left({1 \over 2}\theta +{1 \over 2}\sin \theta \cos \theta +C_{2}\right)\\&=\theta +C_{1}+C_{2}\end{aligned}}} である。微分積分学の基本定理を考慮し、これを微分すると d d θ { ∫ f ( θ ) d θ } = f ( θ ) = d d θ ( θ + C 1 + C 2 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\theta }}\left\{\int f(\theta )d\theta \right\}&=f(\theta )&={\frac {d}{d\theta }}(\theta +C_{1}+C_{2})&=1\end{aligned}}} である。したがって f ( θ ) = sin 2 θ + cos 2 θ = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}f(\theta )=\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &=1.\end{aligned}}} ゆえに、ピタゴラスの定理は成立する。
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