三角関数と双曲線関数を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「三角関数と双曲線関数を用いた証明」の解説
任意の z ∈ C に対し sin 2 i z + cos 2 i z = ( i sinh z ) 2 + cosh 2 z = cosh 2 z − sinh 2 z = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}iz+\cos ^{2}iz&=(i\sinh z)^{2}+\cosh ^{2}z\\&=\cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z\\&=1\end{aligned}}} である。よって任意の θ ∈ C に対して sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が成り立つ。ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、連比関係より a 2 sin 2 θ = b 2 cos 2 θ = c 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\theta }}={\frac {b^{2}}{\cos ^{2}\theta }}=c^{2}} であるから a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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