三角関数による置換積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
四分円の定積分は、 S 4 = ∫ 0 r r 2 − x 2 d x {\displaystyle S_{4}=\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx} ここで、 x = r sin t {\displaystyle x=r\sin t} とおけば、 d x = r cos t d t {\displaystyle \,dx=r\cos t\,dt} 、積分範囲は 0 → r {\displaystyle 0\to r} から 0 → π 2 {\displaystyle 0\to {\frac {\pi }{2}}} となる。また、 r 2 − x 2 = r 2 ( 1 − sin 2 t ) = r cos t {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}t)}}=r\cos t} となるので、 S 4 = ∫ 0 π 2 r 2 cos 2 t d t = r 2 ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t 2 d t = r 2 2 [ t + sin 2 t 2 ] 0 π 2 = π r 2 4 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r^{2}\cos ^{2}t\,dt\\&=r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}\,dt\\&={\frac {r^{2}}{2}}\left[t+{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi r^{2}}{4}}\end{aligned}}} である。全円の面積 S は S = 4 S 4 {\displaystyle S=4S_{4}} なので、 S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}} になる。
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