三角関数の微分公式を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「三角関数の微分公式を用いた証明」の解説
正弦および余弦関数を微分すれば ( sin θ ) ′ = cos θ {\displaystyle (\sin \theta )'=\cos \theta } (1) ( cos θ ) ′ = − sin θ {\displaystyle (\cos \theta )'=-\sin \theta } (2) (1), (2) および微分公式より ( sin 2 θ + cos 2 θ ) ′ = 2 sin θ cos θ + 2 cos θ ( − sin θ ) = 0 {\displaystyle (\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )'=2\sin \theta \cos \theta +2\cos \theta (-\sin \theta )=0} したがって sin 2 θ + cos 2 θ = C {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =C} ここで C は定数である。θ = 0 を代入すると sin 0 = 0, cos 0 = 1 であるので、C = 1 が得られる。よって sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} (3) が得られる。ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、(3) および、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば a 2 + b 2 = a 2 + b 2 1 = a 2 + b 2 sin 2 θ + cos 2 θ = a 2 + b 2 a 2 + b 2 c 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}={a^{2}+b^{2} \over 1}={a^{2}+b^{2} \over \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }={a^{2}+b^{2} \over {a^{2}+b^{2} \over c^{2}}}=c^{2}} が得られる。
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