重い裾をもつ分布とは？わかりやすく解説

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重い裾をもつ分布

読み方：おもいすそをもつぶんぷ
【英】：heavy tailed distribution

分布関数 $F(x)$ の裾 $F(-x)$ または $1 - F(x)$ が $x \to \infty$ のとき，指数的に減少しない，すなわち，任意の $\theta > 0$ に対して $e^{\theta x}F(-x)$ または $e^{\theta c}(1 - F(x))$ が発散するならば，分布 $F$ は重い裾をもつという．例えば，定数 $a, b > 0$ に対して

$1 - F(x) \sim a x^{-b}, \qquad x \to \infty$

ならば， $F$ は重い裾をもつ．ここに， $f(x) \sim g(x)$ は $\lim_{x \to \infty} f(x)/g(x) = 1$ が成り立つことを表す．このような分布の例に， $F(x) = 1 - x^{-b}$ $(x > 0)$ により定義されたパレート分布がある．一般に， $\lim_{x \to \infty} h(x)/x =0$ となるような増加関数 $h(x)$ に対して， $1 - F(x) = e^{-h(x)}$ とするとき， $F$ は重い裾をもつ．

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