二次形式とヘッセ行列とは? わかりやすく解説

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二次形式とヘッセ行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/17 08:08 UTC 版)

対称行列」の記事における「二次形式とヘッセ行列」の解説

詳細は「二次形式」および「ヘッセ行列」を参照 n 次実対称行列は、例えば実 n 変数の二回連続的微分可能函数ヘッセ行列として現れるRn 上の任意の二次形式 q は n 次対称行列 A を用いて q(x) = xTAx の形に一意的に表される上述スペクトル論から、任意の二次形式Rn適当な正規直交基底選べば適当な実数 λi に対して q ( x 1 , … , x n ) = ∑ i = 1 n λ i x i 2 {\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}} なる形に書くことができる(ラグランジュ 1759)。これにより二次形式の、あるいは円錐曲線一般化としての等位集合 {x : q(x) = 1} の研究大幅に簡素化される。 任意の多変可微分函数二階振舞いは、テイラーの定理帰結 f ( x + Δ x ) ≈ f ( x ) + J ( x ) Δ x + 1 2 Δ x T H ( x ) Δ x {\displaystyle f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )\approx f(\mathbf {x} )+J(\mathbf {x} )\Delta \mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\Delta \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }H(\mathbf {x} )\Delta \mathbf {x} } として、その函数ヘッセ行列付随する二次形式によって記述されるから、二次形式スペクトル論はこの場合においてもそれなりに重要である。

※この「二次形式とヘッセ行列」の解説は、「対称行列」の解説の一部です。
「二次形式とヘッセ行列」を含む「対称行列」の記事については、「対称行列」の概要を参照ください。

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