二次導函数の固有値と固有ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:00 UTC 版)
「二階導関数」の記事における「二次導函数の固有値と固有ベクトル」の解説
多くの境界条件の組み合わせにおいて、二次導函数の固有値と固有ベクトルの明示的な公式が得られる。例えば、 x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle x\in [0,L]} および同次元のディリクレ境界条件（すなわち、 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(L)=0} ）を仮定すると、固有値は λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}} となり、対応する固有ベクトル（固有函数とも呼ばれる）は v j ( x ) = 2 L sin ( j π x L ) {\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)} となる。このとき、 v j ″ ( x ) = λ j v j ( x ) , j = 1 , … , ∞ {\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty } である。 その他の著名な例については、Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative を参照せよ。
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