現代的解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)
ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。 集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である。より細かく、「数」の集合への写像に限る場合もある。写像に用いる言葉、例えば 合成（合成関数） 全射、単射（一対一ともいう）、全単射（双射、一対一対応ともいう） 逆（逆関数） などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の（つまり、一般の写像では成り立つとは限らない）性質もある。たとえば、像を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる： x を任意として、 ( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) , {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x),} ( f − g ) ( x ) := f ( x ) − g ( x ) , {\displaystyle (f-g)(x):=f(x)-g(x),} ( f g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle (fg)(x):=f(x)g(x),} ( f g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}} （ただし g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} ） 。あるいはまた、実函数（実一変数で実数値の函数） f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } はグラフと呼ばれる平面上の図表（英語版）で特徴づけられる。
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